7.1 La méthode de synthèse modale
183
La fonction propre u i du système (7.1) est alors décomposée de la façon suivante
u i = u i χ
1 + u i χ
2 + u i χ
3 ,
(7.8)
et c’est chacune des fonctions u i χ
k que l’on va, pour chaque valeur de k,
montrer être bien approchée dans
X
k
n = Vect
u
k
i , i ≤ n
.
(7.9)
Le système {u
k
j } j∈I N est orthogonal et total, à la fois dans L
2 (Ω
k ) et H
1
0 (Ω
k ),
de sorte que la meilleure approximation d’une fonction ϕ de H
1
0 (Ω
k ) au sens
L
2 (Ω
k ) et H
1
0 (Ω
k ) est donnée par la tronquée
n
j=1 ˆ
ϕ
k
j u
k
j où ˆ
ϕ
k
j =
Ω k ϕu
k
j
(noter que les u
k
j sont de plus normés dans L
2 (Ω
k )). L’erreur entre ϕ et cette
meilleure approximation est donc
−
n
j=1
ˆ
ϕ
k
j u
k
j =
∞
j=n+1
ˆ
ϕ
k
j u
k
j =
∞
j=n+1
| ˆ
ϕ k
j | 2 k
j 2
(7.10)
où la norme est celle de L
2 (Ω
k ) ou celle de H
1
0 (Ω
k ). Rappelant que l’on a
choisi les éléments u
k
j orthonormés dans L
2 (Ω
k ), on a
k
j
2
H 1 (Ω k ) = λ
k
j
et ainsi
−
n
j=1
ˆ
ϕ
k
j u
k
j H 1 (Ω) =
∞
j=n+1
| ˆ
ϕ k
j | 2 λ k
j .
(7.11)
La décroissance des coefficients ˆ
ϕ
k
j vers zéro va permettre d’établir un taux de
convergence pour cette somme tronquée. Il est alors classique de remarquer
que, par définition des fonctions propres, pour tout entier p
ˆ
ϕ
k
j =
Ω k
ϕu
k
j =
Ω k
ϕ
(−∆)
p u
k
j
(λ k
j ) p
=
1
(λ k
j ) p
Ω k
(−∆)
p ϕu
k
j =
1
(λ k
j ) p
(−∆) p ϕ
k
j
et donc, de par la croissance de la suite des λ
k
j ,
−
n
j=1
ˆ
ϕ
k
j u
k
j
2
H 1 (Ω k ) ≤
1
(λ k
n+1 ) p
∞
j=n+1
(−∆) p ϕ
k
j
2
λ
k
j
≤
1
(λ k
n+1 ) p ∆
p ϕ
2
H 1
0 (Ω k ) .
(7.12)
On voit donc que la régularité requise sur ϕ pour une convergence rapide est
mesurée en puissances itérées du Laplacien. La fonction qui nous intéresse ici