182
7 Choix des bases
W
W
2
3
W 1
Fig. 7.2. Décomposition de domaine avec recouvrement
On résout ensuite sur chacun de ces sous domaines des problèmes aux valeurs
propres du type (7.1) : trouver u
k
∈ H
1
0 (Ω
k ) et λ
k
∈ IR tels que
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
Ω k
∇u
k
· ∇v
k = λ
k
Ω k
u
k v
k , ∀v
k
∈ H
1
0 (Ω
k ),
k
L 2 (Ω k ) = 1.
(7.3)
Comme pour le problème original, chacun des ces problèmes possède des
solutions (u
k
i , λ
k
i ) rangées elles-aussi par ordre croissant de valeurs propres :
λ
k
i ≤ λ
k
i+1 . On prolonge ensuite ces fonctions par zéro sur Ω \ Ω
k pour en
faire des éléments de H
1
0 (Ω) et on considère, pour n ∈ IN
∗ , les espaces
X n = Vect
u
k
i , k = 1, 2, 3, i ≤ n
(7.4)
où l’on a noté de la même façon les solutions u
k
i prolongées par zéro. L’approximation par synthèse modale est une méthode de Galerkin pour le problème
(7.1) basée sur l’espace discret X n . Comme il s’agit d’une approximation
interne, la théorie générale [7] montre qu’il existe un ensemble de 3n solutions
notées (u i;n , λ i;n ) et on a, en supposant encore les valeurs propres rangées par
ordre croissant,
i − u i;n H 1 (Ω) ≤ C inf
vn∈Xn
u i − v n H 1 (Ω)
(7.5)
et
|λ i − λ i;n | ≤ Cu i − u i;n
2
H 1 (Ω) .
(7.6)
L’ordre de convergence de la méthode est ainsi directement lié aux propriétés
d’approximation des éléments propres du problème (7.1) par les éléments de
X n . C’est donc ce sur quoi nous allons porter maintenant nos efforts. On
introduit pour cela une partition de l’unité régulière 1 = χ
1 +χ
2 +χ
3 , adaptée
à la décomposition de domaine (7.2), on remarque que la présence du domaine
Ω
3 permet d’exhiber une partition de l’unité composée de fonctions régulières,
on peut même imposer à la fonction χ
1 , d’être égale à 1 dans un voisinage de
S 0 et aux fonctions χ
k de vérifier
∂χ
k
∂n
= 0 sur ∂Ω
k .
(7.7)
7 Choix des bases
W
W
2
3
W 1
Fig. 7.2. Décomposition de domaine avec recouvrement
On résout ensuite sur chacun de ces sous domaines des problèmes aux valeurs
propres du type (7.1) : trouver u
k
∈ H
1
0 (Ω
k ) et λ
k
∈ IR tels que
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
Ω k
∇u
k
· ∇v
k = λ
k
Ω k
u
k v
k , ∀v
k
∈ H
1
0 (Ω
k ),
k
L 2 (Ω k ) = 1.
(7.3)
Comme pour le problème original, chacun des ces problèmes possède des
solutions (u
k
i , λ
k
i ) rangées elles-aussi par ordre croissant de valeurs propres :
λ
k
i ≤ λ
k
i+1 . On prolonge ensuite ces fonctions par zéro sur Ω \ Ω
k pour en
faire des éléments de H
1
0 (Ω) et on considère, pour n ∈ IN
∗ , les espaces
X n = Vect
u
k
i , k = 1, 2, 3, i ≤ n
(7.4)
où l’on a noté de la même façon les solutions u
k
i prolongées par zéro. L’approximation par synthèse modale est une méthode de Galerkin pour le problème
(7.1) basée sur l’espace discret X n . Comme il s’agit d’une approximation
interne, la théorie générale [7] montre qu’il existe un ensemble de 3n solutions
notées (u i;n , λ i;n ) et on a, en supposant encore les valeurs propres rangées par
ordre croissant,
i − u i;n H 1 (Ω) ≤ C inf
vn∈Xn
u i − v n H 1 (Ω)
(7.5)
et
|λ i − λ i;n | ≤ Cu i − u i;n
2
H 1 (Ω) .
(7.6)
L’ordre de convergence de la méthode est ainsi directement lié aux propriétés
d’approximation des éléments propres du problème (7.1) par les éléments de
X n . C’est donc ce sur quoi nous allons porter maintenant nos efforts. On
introduit pour cela une partition de l’unité régulière 1 = χ
1 +χ
2 +χ
3 , adaptée
à la décomposition de domaine (7.2), on remarque que la présence du domaine
Ω
3 permet d’exhiber une partition de l’unité composée de fonctions régulières,
on peut même imposer à la fonction χ
1 , d’être égale à 1 dans un voisinage de
S 0 et aux fonctions χ
k de vérifier
∂χ
k
∂n
= 0 sur ∂Ω
k .
(7.7)