7.1 La méthode de synthèse modale
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7.1 La méthode de synthèse modale
Pour présenter la méthode de synthèse modale et son analyse numérique,
on va se placer dans un cas beaucoup plus simple afin de dégager les idées
essentielles qui font que cette discrétisation converge très vite. On s’intéresse
au problème aux valeurs propres suivant : trouver u ∈ H
1
0 (Ω) et λ ∈ IR tels
que
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
Ω
∇u · ∇v = λ
Ω
uv, ∀v ∈ H
1
0 (Ω),
L 2 (Ω) = 1,
(7.1)
où Ω est un domaine borné, lipschitzien. Il est bien connu [47] que ce problème
possède une suite de solutions (u i , λ i ) i∈I N ∗ que l’on choisit de ranger par ordre
croissant de valeurs propres λ i ≤ λ i+1 . Le cadre qui nous intéresse plus particulièrement ici est celui où le domaine Ω présente des coins, comme celui de
la figure 7.1. On sait qu’alors les vecteurs propres des solutions du problème
(7.1) sont susceptibles de présenter des singularités localisées au niveau des
sommets S 1 , · · · , S 5 et plus particulièrement en S 0 .
Pour introduire la méthode de synthèse modale, on considère une décomposition de domaine
Ω = Ω
1
∪ Ω
2
∪ Ω
3
(7.2)
avec recouvrement, comme indiqué sur la figure 7.2.
S 0
S
S
S
S
S
1
2
3
4
5
Fig. 7.1. Domaine à coins