176
6 Simulation numérique des modèles
6. En déduire que
(ij|kl) =
2π
2 C ij C kl
(γ ij γ kl ) 3/2 |¯ y ij − ¯
y kl |
+∞
0
sin u
u
e
−u
2 /4w du
avec w =
γij γ kl
γij +γ kl
|¯ y ij − ¯
y kl |
2 .
7. Montrer que
+∞
0
sin u
u
e
−u
2 /4w du =
√
πw
1
0
e
−ws
2 ds.
8. Exprimer (ij|kl) en fonction de
F (w) =
1
0
e
−ws
2 ds.
9. En déduire l’expression en fonction de F des intégrales monoélectroniques
h ij .
Exercice 6.4 Soit H une matrice symétrique de taille N b × N b et 1 ≤ 2 ≤
· · · ≤ N b ses valeurs propres. Soit D ∈ M S (N b ) solution de
⎧
⎨
⎩
HC = SCE,
avec
E = Diag ( 1 , · · · , , N )
C
T SC
D = CC
T
(6.37)
où C ∈ M(N b , N) et S est une matrice symétrique définie positive. On cherche
à montrer que
D = arginf {Tr(HD
), D
∈ P N }
(6.38)
avec
P N = {D
∈ M S (N b ), D
SD
= D
, Tr(SD
) = N } .
On note γ = N +1 − N .
1. On suppose dans un premier temps que H = Diag ( 1 , , 2 , · · · , , N ), que S
est la matrice indentité, et que γ > 0.
a) Donner l’expression de l’unique matrice D solution de (6.37).
b) Montrer que pour toute matrice D
=
D
ij
∈ P N , 0 ≤ D
ii ≤ 1 pour
tout 1 ≤ i ≤ N b .
c) Montrer que la matrice D solution de (6.37) est telle que pour toute
matrice D
=
D
ij
∈ P N ,
− D
2 = 2
N b
i=N +1
D
ii ,
où désigne la norme matricielle de Fröbenius définie par A =
Tr
AA
T
1/2 .