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6 Simulation numérique des modèles
– S. Goedecker, Linear scaling electronic structure methods, Rev. Mod.
Phys. 71 (1999) 1085-1123.
– G. Scuseria, Linear scaling density functional calculations with gaussian
orbitals, J. Phys. Chem. A 103 (1999) 4782-4790.
Concernant les questions relatives à l’optimisation de géométrie des systèmes
moléculaires de grande taille, nous conseillons notamment
– T. Schlick, Molecular Modeling : An Interdisciplinary Guide, SpringerVerlag 2002.
6.6 Exercices
Exercice 6.1 Etats propres de l’atome d’Hydrogène.
On a vu à la section 6.1 qu’une base des états propres de l’atome d’Hydrogène
pouvait être recherchée sous la forme
ψ(r, θ, φ) = R(r)Y
m
l (θ, φ).
Pour l et m fixés, la fonction R est solution de l’équation aux valeurs propres
radiale
−
1
2r
d
2
dr 2 (r R(r)) +
l(l + 1)
2r 2 R(r) −
1
r
R(r) = ER(r)
qu’on cherche ici à résoudre. On suppose que l est fixé.
1. Etudier le comportement asymptotique de R à l’infini.
2. On pose maintenant R(r) = w(r)e
−
√
2E r . Ecrire l’équation satisfaite par
la fonction w et étudier les singularités de w en l’origine.
3. On pose w(r) = r
l L(r). Ecrire l’équation vérifiée par la fonction L.
Rechercher les solutions de cette équation sous la forme d’un développement en série entière. Montrer que
√
2E est nécessairement un entier et
que les solutions correspondantes sont des polynômes.
4. Conclure.
Exercice 6.2 Les notations sont celles de la section 6.2.1. On pose
A =
D = CC
T , C ∈ M(N b , N), C
T SC = I N
et
B = {D ∈ M S (N b ), DSD = D, Tr(SD) = N } .
Vérifier que A ⊂ B puis montrer que B ⊂ A (on pourra commencer par le cas
où S = I N b et chercher un argument de nature géométrique).