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6 Simulation numérique des modèles
En notant
(µν|κλ) =
I R 3
I R 3
χ µ (x)χ ν (x)χ κ (x
)χ λ (x
)
|x − x |
dx dx
,
et pour toute matrice D ∈ M(N b , N b ),
[J(D)] µν =
N b
κ,λ=1
(µν|κλ)D κλ ,
[K(D)] µν =
N b
κ,λ=1
(µλ|κν)D κλ ,
on obtient de même l’expression des termes de répulsion interélectroniques en
fonction de C
I R 3
I R 3
ρ Φ (x) ρ Φ (x
)
|x − x |
dx dx
=
N b
µ,ν,κ,λ=1
N
i,j=1
(µν|κλ)C µi C νi C κj C λj
= Tr
J(CC
T )CC
T
,
I R 3
I R 3
|τ Φ (x, x
)|
2
|x − x |
dx dx
=
N b
µ,ν,κ,λ=1
N
i,j=1
(µλ|κν)C µi C νi C κj C λj
= Tr
K(CC
T )CC
T
.
On aboutit donc au problème de minimisation
inf
E
HF (CC
T ), C ∈ W N
(6.8)
où
E
HF (D) = Tr(hD) +
1
2
Tr(J(D)D) −
1
2
Tr(K(D)D),
et
W N =
C ∈ M(N b , N), C
T SC = I N
.
Aucune confusion avec le problème de départ (6.5) n’étant à craindre, nous
avons conservé par commodité les mêmes notations E
HF et W N pour désigner
l’énergie de Hartree-Fock et l’ensemble de minimisation dans l’approximation
de Galerkin (6.8). En posant
G(D) = J(D) − K(D),
on peut écrire l’énergie de Hartree-Fock sous la forme plus concise
E
HF (D) = Tr(hD) +
1
2
Tr(G(D)D).
Remarquons qu’en raison des symétries du tenseur à quatre indices (µν|κλ),
on a pour toutes matrices D et D
de M(N b , N b ),