6.2 Résolution numérique du problème électronique
143
avec
W N (V) =
Φ = {φ i } 1≤i≤N , φ i ∈ V,
I R 3
φ i φ j = δ ij , 1 ≤ i, j ≤ N
,
où V est un sous-espace H
1 (IR
3 ) de dimension finie N b . Soit {χ µ } 1≤µ≤N b une
base de V et S ∈ M S (N b ) la matrice de recouvrement définie par
S µν =
I R 3
χ µ χ ν .
À Φ = {φ i } ∈ W N (V), on associe la matrice C ∈ M(N b , N) rassemblant les
coefficients des φ i dans la base {χ µ } :
∀ 1 ≤ i ≤ N,
φ i (x) =
N b
µ=1
C µi χ µ (x).
Les contraintes
I R 3
φ i φ j = δ ij , s’écrivent alors
δ ij =
I R 3
φ i φ j =
I R 3
N b
ν=1
C νi χ ν
N b
µ=1
C µj χ µ
=
N b
µ=1
N b
ν=1
C µj S µν C νi ,
soit encore sous forme matricielle
C
T SC = I N ,
I N désignant la matrice identité de rang N . Par ailleurs,
N
i=1
1
2
I R 3
|∇φ i |
2 +
I R 3
ρ Φ V =
N
i=1
1
2
I R 3
|∇φ i |
2 +
I R 3
V |φ i |
2
=
N
i=1
⎛
⎝ 1
2
I R 3
∇
N b
µ=1
C µi χ µ
2
+
I R 3
V
N b
µ=1
C µi χ µ
2
⎞
⎠
=
N
i=1
N b
µ=1
N b
ν=1
h µν C νi C µi
= Tr
hCC
T
,
où h désigne la matrice de l’hamiltonien de cœur −
1
2 ∆+V dans la base {χ µ } :
h µν =
1
2
I R3
∇χ µ · ∇χ ν +
I R 3
V χ µ χ ν .