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6 Simulation numérique des modèles
Cette base est caractérisée par les relations
∆ S · Y
m
l = −l(l + 1)Y
m
l
et
− i
∂
∂φ
Y
m
l (θ, φ) = mY
m
l (θ, φ). (6.3)
L’expression des harmoniques sphériques en fonction de θ et φ est donnée par
Y
m
l (θ, φ) =
(2l + 1)
4π
(l − m)!
(l + m)!
1/2
P
m
l (cos θ)e
imφ
où les P
m
l (cos θ) désignent les fonctions de Legendre. Celles-ci sont obtenues
à partir des polynômes de Legendre
2 par dérivation :
P
m
l (cos θ) = (sin θ)
m P
(m)
l
(cos θ)
pour 0 ≤ m ≤ l,
P
−m
l
(cos θ) = (−1)
m (l−m)!
(l+m)! P
m
l (cos θ)
pour 0 ≤ m ≤ l,
la notation P
(m)
l
désignant la dérivée m-ième du polynôme de Legendre P l .
Les premiers représentants de la famille des harmoniques sphériques sont :
Y
0
0 (θ, φ) =
1
√
4π
Y
0
1 (θ, φ) =
3
4π cos θ,
Y
±1
1 (θ, φ) = ±
3
8π sin θ e
±iφ
Y
0
2 (θ, φ) =
5
16π (3 cos
2 θ − 1),
Y
±1
2 (θ, φ) = ∓
15
8π sin θ cos θ e
±iφ ,
Y
±2
2 (θ, φ) =
15
32π sin
2 θe
±2iφ .
Ce rappel étant fait, revenons à notre problème et cherchons donc les états
propres de H sous la forme
ψ(r, θ, φ) = R(r) Y
m
l (θ, φ).
En reportant dans l’équation aux valeurs propres Hψ = Eψ et en utilisant
(6.3), on obtient l’équation radiale
−
1
2r
d
2
dr 2 (r R(r)) +
l(l + 1)
2r 2 R(r) −
Z
r
R(r) = ER(r).
(6.4)
A l fixé, l’équation (6.4) possède une infinité dénombrable de solutions normalisées (i.e. telle que
+∞
0
r
2
|R(r)|
2 dr = 1). Chacune d’elle peut être caractérisée (à une phase globale près) par un entier n > l ; la solution R nl (r) est
donnée par
2 La base des polynômes de Legendre P l (x) est l’orthonormalisée de GrammSchmidt de la base des monômes (1, x, x
2 , x
3 , · · ·) pour le produit scalaire usuel de
L
2 (−1, 1). En fait, l’usage est plutôt d’utiliser le procédé de normalisation consistant à imposer P l (1) = 1. On a ainsi P0(x) = 1, P1(x) = x, P2(x) =
1
2
3x
2 − 1
,
et plus généralement (formule de Rodrigues) P l (x) =
(−1)
l
2 l l!
d
l
dx l (1 − x
2 )
l .
6 Simulation numérique des modèles
Cette base est caractérisée par les relations
∆ S · Y
m
l = −l(l + 1)Y
m
l
et
− i
∂
∂φ
Y
m
l (θ, φ) = mY
m
l (θ, φ). (6.3)
L’expression des harmoniques sphériques en fonction de θ et φ est donnée par
Y
m
l (θ, φ) =
(2l + 1)
4π
(l − m)!
(l + m)!
1/2
P
m
l (cos θ)e
imφ
où les P
m
l (cos θ) désignent les fonctions de Legendre. Celles-ci sont obtenues
à partir des polynômes de Legendre
2 par dérivation :
P
m
l (cos θ) = (sin θ)
m P
(m)
l
(cos θ)
pour 0 ≤ m ≤ l,
P
−m
l
(cos θ) = (−1)
m (l−m)!
(l+m)! P
m
l (cos θ)
pour 0 ≤ m ≤ l,
la notation P
(m)
l
désignant la dérivée m-ième du polynôme de Legendre P l .
Les premiers représentants de la famille des harmoniques sphériques sont :
Y
0
0 (θ, φ) =
1
√
4π
Y
0
1 (θ, φ) =
3
4π cos θ,
Y
±1
1 (θ, φ) = ±
3
8π sin θ e
±iφ
Y
0
2 (θ, φ) =
5
16π (3 cos
2 θ − 1),
Y
±1
2 (θ, φ) = ∓
15
8π sin θ cos θ e
±iφ ,
Y
±2
2 (θ, φ) =
15
32π sin
2 θe
±2iφ .
Ce rappel étant fait, revenons à notre problème et cherchons donc les états
propres de H sous la forme
ψ(r, θ, φ) = R(r) Y
m
l (θ, φ).
En reportant dans l’équation aux valeurs propres Hψ = Eψ et en utilisant
(6.3), on obtient l’équation radiale
−
1
2r
d
2
dr 2 (r R(r)) +
l(l + 1)
2r 2 R(r) −
Z
r
R(r) = ER(r).
(6.4)
A l fixé, l’équation (6.4) possède une infinité dénombrable de solutions normalisées (i.e. telle que
+∞
0
r
2
|R(r)|
2 dr = 1). Chacune d’elle peut être caractérisée (à une phase globale près) par un entier n > l ; la solution R nl (r) est
donnée par
2 La base des polynômes de Legendre P l (x) est l’orthonormalisée de GrammSchmidt de la base des monômes (1, x, x
2 , x
3 , · · ·) pour le produit scalaire usuel de
L
2 (−1, 1). En fait, l’usage est plutôt d’utiliser le procédé de normalisation consistant à imposer P l (1) = 1. On a ainsi P0(x) = 1, P1(x) = x, P2(x) =
1
2
3x
2 − 1
,
et plus généralement (formule de Rodrigues) P l (x) =
(−1)
l
2 l l!
d
l
dx l (1 − x
2 )
l .