6.1 Prolégomène : étude de l’ion hydrogénoïde
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e z
f
q
r
e
e x
y
Fig. 6.1. Coordonnées sphériques.
Notons par ailleurs que ∆ S = −L
2 où L = −ix × ∇ désigne l’opérateur
de moment cinétique (cf. Annexe A), et que les fonctions de la forme (6.2)
pour f fonction quelconque de L
2 (IR
+ , 4πr
2 dr), sont exactement les fonctions
propres communes aux opérateurs L
2 et L z = L · e z = −i
∂
∂φ . Nous sommes
donc en train de chercher une base de vecteurs propres de H en imposant que
ces vecteurs propres soient aussi vecteurs propres de L
2 et de L z . Notons enfin
que H s’écrit aussi
H = −
1
2r
∂
2
∂r 2 r +
1
2r 2 L
2
−
Z
r
.
Il n’est peut-être pas inutile à ce stade de faire un bref
Rappel. Les harmoniques sphériques (Y
m
l ) l≥0, −l≤m≤l forment une base hilbertienne de L
2 (S
2 ) :
– on a pour tout (l, m), l ≥ 0, −l ≤ m ≤ l et tout (l
, m
), l
≥ 0,
−l
≤ m
≤ l
(Y
m
l , Y
m
l ) L 2 (S 2 ) =
π
0
2π
0
Y
m
l (θ, φ)
∗ Y
m
l (θ, φ) sin θ dθ dφ = δ ll δ mm ;
– toute fonction f ∈ L
2 (S
2 ) se décompose de manière unique sur la base
des harmoniques sphériques :
f =
+∞
l=0
l
m=−l
(Y
m
l , f) L 2 (S 2 ) Y
m
l ,
la convergence de la série s’entendant au sens de la convergence L
2 .