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6 Simulation numérique des modèles
en fonction des variables
x G =
M ¯
x + m x
M + m
et
x r = x − ¯
x,
qui correspondent respectivement à la position du centre de masse et à la
position relative de l’électron par rapport au noyau. En notant µ = mM/(m +
M ) la masse réduite du système, on obtient ainsi l’hamiltonien
H = −
1
2(m + M )
∆ xG −
1
2µ
∆ xr −
Z
|x r |
dans lequel mouvement du centre de masse et mouvement relatif des deux
particules sont dissociés. L’énergie fondamentale de cet hamiltonien est donc
obtenue en minimisant séparément l’énergie E G de translation du centre de
masse et l’énergie du mouvement relatif. On obtient facilement E G = 0
(construire à titre d’exercice une suite minimisante) et on déduit de ce qui précède E r = −µZ
2 /2. Sous l’approximation de Born-Oppenheimer (M = +∞,
et donc µ = 1), on retrouve bien l’expression (6.1) de l’hamiltonien et l’énergie
fondamentale E 0 = −Z
2 /2.
6.1.2 Description complète du spectre discret
On cherche maintenant à exhiber toute la suite des valeurs propres (et des
vecteurs propres) de H. Afin de rendre la lecture plus digeste, on se contente
dans cette section de donner le principe et les résultats de cette recherche.
Le lecteur intéressé par les détails techniques est invité à se plonger dans les
problèmes 6.1 et 6 2.
Remarquons tout d’abord qu’en coordonnées sphériques, l’hamiltonien H
s’écrit
H = −
1
2r
∂
2
∂r 2 r −
1
2r 2 ∆ S −
Z
r
,
∆ S désige l’opérateur de Laplace-Beltrami. Cet opérateur, qui est l’analogue
du laplacien sur la variété S
2 , n’agit que sur les variables θ et φ :
∆ S =
1
sin θ
∂
∂θ
sin θ
∂
∂θ
+
1
sin
2 θ
∂
2
∂φ 2 .
Les vecteurs propres de ∆ S sur la sphère S
2 sont connus (voir le rappel cidessous) : il s’agit des harmoniques sphériques Y
m
l . On remarque ensuite
que H et ∆ S (∆ S est vu désormais comme un opérateur agissant sur IR
3 )
commutent. On peut donc construire une base de vecteurs propres de H en
imposant que ces vecteurs propres soient aussi vecteurs propres de ∆ S . Ces
fonctions s’écrivent donc en coordonnées sphériques sous la forme
ψ(r, θ, φ) = f (r) Y
m
l (θ, φ)
(6.2)
où f est une fonction appropriée de L
2 (IR
+ , 4πr
2 dr).
6 Simulation numérique des modèles
en fonction des variables
x G =
M ¯
x + m x
M + m
et
x r = x − ¯
x,
qui correspondent respectivement à la position du centre de masse et à la
position relative de l’électron par rapport au noyau. En notant µ = mM/(m +
M ) la masse réduite du système, on obtient ainsi l’hamiltonien
H = −
1
2(m + M )
∆ xG −
1
2µ
∆ xr −
Z
|x r |
dans lequel mouvement du centre de masse et mouvement relatif des deux
particules sont dissociés. L’énergie fondamentale de cet hamiltonien est donc
obtenue en minimisant séparément l’énergie E G de translation du centre de
masse et l’énergie du mouvement relatif. On obtient facilement E G = 0
(construire à titre d’exercice une suite minimisante) et on déduit de ce qui précède E r = −µZ
2 /2. Sous l’approximation de Born-Oppenheimer (M = +∞,
et donc µ = 1), on retrouve bien l’expression (6.1) de l’hamiltonien et l’énergie
fondamentale E 0 = −Z
2 /2.
6.1.2 Description complète du spectre discret
On cherche maintenant à exhiber toute la suite des valeurs propres (et des
vecteurs propres) de H. Afin de rendre la lecture plus digeste, on se contente
dans cette section de donner le principe et les résultats de cette recherche.
Le lecteur intéressé par les détails techniques est invité à se plonger dans les
problèmes 6.1 et 6 2.
Remarquons tout d’abord qu’en coordonnées sphériques, l’hamiltonien H
s’écrit
H = −
1
2r
∂
2
∂r 2 r −
1
2r 2 ∆ S −
Z
r
,
∆ S désige l’opérateur de Laplace-Beltrami. Cet opérateur, qui est l’analogue
du laplacien sur la variété S
2 , n’agit que sur les variables θ et φ :
∆ S =
1
sin θ
∂
∂θ
sin θ
∂
∂θ
+
1
sin
2 θ
∂
2
∂φ 2 .
Les vecteurs propres de ∆ S sur la sphère S
2 sont connus (voir le rappel cidessous) : il s’agit des harmoniques sphériques Y
m
l . On remarque ensuite
que H et ∆ S (∆ S est vu désormais comme un opérateur agissant sur IR
3 )
commutent. On peut donc construire une base de vecteurs propres de H en
imposant que ces vecteurs propres soient aussi vecteurs propres de ∆ S . Ces
fonctions s’écrivent donc en coordonnées sphériques sous la forme
ψ(r, θ, φ) = f (r) Y
m
l (θ, φ)
(6.2)
où f est une fonction appropriée de L
2 (IR
+ , 4πr
2 dr).