6.1 Prolégomène : étude de l’ion hydrogénoïde
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On en conclut par régularité elliptique et à l’aide de l’inégalité de Harnack
que |ψ 0 | est continue et strictement positive. On a donc nécessairement |ψ 0 | =
ψ 0 > 0 sur IR
3 . Supposons maintenant que la valeur propre fondamentale
E 0 soit de multiplicité supérieure ou égale à 2. Si c’était le cas, on pourrait
trouver un autre fondamental réel normalisé de H, noté
ψ 0 , orthogonal à
ψ 0 . En reprenant le raisonnement ci-dessus, on pourrait écrire
ψ 0 = ± φ, φ
désignant un fondamental normalisé de H réel strictement positif sur IR
3 . On
aurait alors
0 = ±
I R 3
ψ 0
ψ 0 =
I R 3
ψ 0 φ > 0,
ce qui met en évidence une contradiction. Ceci prouve l’unicité du fondamental
normalisé (au signe près ou à une phase globale près si on considère des
vecteurs propres à valeurs complexes).
Remarque 6.1 Ce raisonnement classique s’étend à tout hamiltonien de la
forme H = −
1
2 ∆ + V , V désignant un opérateur de multiplication suffisamment régulier (V ∈ L
2 (IR
3 )+L
∞
(IR
3 ) convient) : si H admet un fondamental,
alors ce fondamental est unique, à une constante multiplicative près, qui peut
être choisie telle que le fondamental soit strictement positif presque partout.
Remarquons maintenant que pour toute rotation R de l’espace, ψ 0 (R · x)
est aussi un fondamental normalisé strictement positif. L’argument d’unicité exposé ci-dessus permet de conclure que ψ 0 est une fonction radiale :
ψ 0 (x) = f (|x|), f désignant la solution strictement positive normalisée (dans
L
2 (IR
+ , 4πr
2 dr)) de l’équation aux valeurs propres posée sur IR
+∗
−
1
2
f
(r) −
f
(r)
r
−
Z f(r)
r
= E 0 f (r).
On voit facilement que f (r) = exp(−Z r) est une solution strictement positive
de cette équation associée à la valeur propre E 0 = −Z
2 /2.
Le fondamental normalisé de H est donc donné par
ψ 0 (x) =
Z
3/2
√
π
e
−Z |x|
et la valeur propre fondamentale de H vaut E 0 = −Z
2 /2.
Remarque 6.2 On peut déterminer analytiquement l’énergie fondamentale
de l’ion hydrogénoïde sans avoir recours à l’approximation de Born-Oppenheimer. Comme en mécanique classique, un problème de mécanique quantique
à deux corps peut être en effet ramené à l’étude d’un problème à un corps.
Ecrivons pour cela l’hamiltonien complet du système
H = −
1
2M
∆ ¯
x −
1
2m
∆ x −
Z
|x − ¯
x|
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On en conclut par régularité elliptique et à l’aide de l’inégalité de Harnack
que |ψ 0 | est continue et strictement positive. On a donc nécessairement |ψ 0 | =
ψ 0 > 0 sur IR
3 . Supposons maintenant que la valeur propre fondamentale
E 0 soit de multiplicité supérieure ou égale à 2. Si c’était le cas, on pourrait
trouver un autre fondamental réel normalisé de H, noté
ψ 0 , orthogonal à
ψ 0 . En reprenant le raisonnement ci-dessus, on pourrait écrire
ψ 0 = ± φ, φ
désignant un fondamental normalisé de H réel strictement positif sur IR
3 . On
aurait alors
0 = ±
I R 3
ψ 0
ψ 0 =
I R 3
ψ 0 φ > 0,
ce qui met en évidence une contradiction. Ceci prouve l’unicité du fondamental
normalisé (au signe près ou à une phase globale près si on considère des
vecteurs propres à valeurs complexes).
Remarque 6.1 Ce raisonnement classique s’étend à tout hamiltonien de la
forme H = −
1
2 ∆ + V , V désignant un opérateur de multiplication suffisamment régulier (V ∈ L
2 (IR
3 )+L
∞
(IR
3 ) convient) : si H admet un fondamental,
alors ce fondamental est unique, à une constante multiplicative près, qui peut
être choisie telle que le fondamental soit strictement positif presque partout.
Remarquons maintenant que pour toute rotation R de l’espace, ψ 0 (R · x)
est aussi un fondamental normalisé strictement positif. L’argument d’unicité exposé ci-dessus permet de conclure que ψ 0 est une fonction radiale :
ψ 0 (x) = f (|x|), f désignant la solution strictement positive normalisée (dans
L
2 (IR
+ , 4πr
2 dr)) de l’équation aux valeurs propres posée sur IR
+∗
−
1
2
f
(r) −
f
(r)
r
−
Z f(r)
r
= E 0 f (r).
On voit facilement que f (r) = exp(−Z r) est une solution strictement positive
de cette équation associée à la valeur propre E 0 = −Z
2 /2.
Le fondamental normalisé de H est donc donné par
ψ 0 (x) =
Z
3/2
√
π
e
−Z |x|
et la valeur propre fondamentale de H vaut E 0 = −Z
2 /2.
Remarque 6.2 On peut déterminer analytiquement l’énergie fondamentale
de l’ion hydrogénoïde sans avoir recours à l’approximation de Born-Oppenheimer. Comme en mécanique classique, un problème de mécanique quantique
à deux corps peut être en effet ramené à l’étude d’un problème à un corps.
Ecrivons pour cela l’hamiltonien complet du système
H = −
1
2M
∆ ¯
x −
1
2m
∆ x −
Z
|x − ¯
x|