XIV
Table des matières
9.2.5 Par delà le modèle de continuum standard . . . . . . . . . . . . 248
9.2.6 Résolution numérique des modèles de continuum . . . . . . 250
9.3 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
9.4 Pour en savoir plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
10 Un cas périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
10.1 Présentation des problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
10.2 Le cas le plus simple sur un ouvert borné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
10.2.1 Le principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
10.2.2 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
10.3 Le cas Thomas-Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
10.4 Le cas Thomas-Fermi-von Weizsäcker simplifié . . . . . . . . . . . . . . 275
10.4.1 Etape préliminaire : unicité de la solution périodique . . . 276
10.4.2 Etape 1 : construction d’une solution maximale . . . . . . . 278
10.4.3 Etape 2 : construction d’une solution minimale . . . . . . . . 283
10.4.4 Etape 3 : minimale = périodique = maximale . . . . . . . . . 287
10.5 L’unicité pour un système d’équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
10.6 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
10.7 Pour en savoir plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
11 Ouvertures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
11.1 Méthodes rapides pour les grands systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
11.1.1 Méthodes de pénalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
11.1.2 Méthodes d’approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
11.2 Modèles pour la phase solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
11.2.1 Les modèles pour la structure électronique des cristaux . 303
11.2.2 D’autres systèmes : périodiques, presque, ou pas du tout304
11.2.3 La matière est-elle périodique ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
11.3 De la physique des solides à la mécanique des matériaux . . . . . . 306
11.4 Modèles ab initio pour les problèmes dépendant du temps . . . . 308
11.4.1 Une approximation non adiabatique . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
11.4.2 L’approximation adiabatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
11.5 La dynamique moléculaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
11.6 Le contrôle des évolutions en chimie moléculaire . . . . . . . . . . . . . 317
11.7 Méthodes de Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
A Introduction à la mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
A.1 Limites de l’approche classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
A.1.1 Rappels et compléments de mécanique classique . . . . . . . 325
A.1.2 Preuve expérimentale de la dualité onde-particule . . . . . 329
A.2 Le paradigme quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
A.2.1 Notion d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
A.2.2 Observables et mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
A.2.3 Evolution de l’état entre deux mesures . . . . . . . . . . . . . . . 340
A.2.4 Indiscernabilité des particules identiques . . . . . . . . . . . . . 350
Table des matières
9.2.5 Par delà le modèle de continuum standard . . . . . . . . . . . . 248
9.2.6 Résolution numérique des modèles de continuum . . . . . . 250
9.3 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
9.4 Pour en savoir plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
10 Un cas périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
10.1 Présentation des problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
10.2 Le cas le plus simple sur un ouvert borné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
10.2.1 Le principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
10.2.2 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
10.3 Le cas Thomas-Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
10.4 Le cas Thomas-Fermi-von Weizsäcker simplifié . . . . . . . . . . . . . . 275
10.4.1 Etape préliminaire : unicité de la solution périodique . . . 276
10.4.2 Etape 1 : construction d’une solution maximale . . . . . . . 278
10.4.3 Etape 2 : construction d’une solution minimale . . . . . . . . 283
10.4.4 Etape 3 : minimale = périodique = maximale . . . . . . . . . 287
10.5 L’unicité pour un système d’équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
10.6 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
10.7 Pour en savoir plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
11 Ouvertures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
11.1 Méthodes rapides pour les grands systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
11.1.1 Méthodes de pénalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
11.1.2 Méthodes d’approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
11.2 Modèles pour la phase solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
11.2.1 Les modèles pour la structure électronique des cristaux . 303
11.2.2 D’autres systèmes : périodiques, presque, ou pas du tout304
11.2.3 La matière est-elle périodique ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
11.3 De la physique des solides à la mécanique des matériaux . . . . . . 306
11.4 Modèles ab initio pour les problèmes dépendant du temps . . . . 308
11.4.1 Une approximation non adiabatique . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
11.4.2 L’approximation adiabatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
11.5 La dynamique moléculaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
11.6 Le contrôle des évolutions en chimie moléculaire . . . . . . . . . . . . . 317
11.7 Méthodes de Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
A Introduction à la mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
A.1 Limites de l’approche classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
A.1.1 Rappels et compléments de mécanique classique . . . . . . . 325
A.1.2 Preuve expérimentale de la dualité onde-particule . . . . . 329
A.2 Le paradigme quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
A.2.1 Notion d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
A.2.2 Observables et mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
A.2.3 Evolution de l’état entre deux mesures . . . . . . . . . . . . . . . 340
A.2.4 Indiscernabilité des particules identiques . . . . . . . . . . . . . 350