5.5 Pour en savoir plus
133
Un dernier problème est intimement lié au modèle de Hartree-Fock : il s’agit
du modèle de Kohn-Sham (1.17) présenté Section 1.5.3, et du modèle simplifié
inf
E
KS (φ 1 , · · · , φ N ), φ i ∈ H
1
IR
3
,
I R 3
φ
2
i = 1
(5.35)
avec, comme pour le modèle de Kohn-Sham,
E
KS (φ 1 , · · · , φ N ) =
N
i=1
1
2
I R 3
|∇φ i |
2 +
I R 3
ρV +
1
2
D(ρ, ρ) + E xc (ρ), (5.36)
où ρ(x) =
N
i=1
φ
2
i (x) et D(ρ, ρ) =
1
2
I R 3
I R 3
ρ(x)ρ(y)
|x − y|
dx dy, et où E xc (ρ) est
une fonctionnelle de ρ, par exemple de la forme c
I R 3
ρ
4/3 . Pour l’étude de ces
deux modèles (pour lequel le problème à l’infini n’est typiquement pas nul),
on renvoie à la littérature (voir la Section 5.5).
5.4 Résumé
Ce chapitre, qui termine notre séquence de quatre chapitres sur l’existence
d’un minimum pour une gamme de problèmes de minimisation, a été consacré
à l’analyse du modèle de Hartree-Fock, clairement un des modèles capitaux du
point de vue des applications. On y a vu que l’existence d’un état fondamental
était connue, mais que son unicité (à transformation orthogonale près bien sûr)
restait un problème ouvert, sans doute extrêmement difficile.
5.5 Pour en savoir plus
La preuve que nous avons indiquée de la compacité du modèle de Hartree-Fock
peut être lue dans les deux articles
– E. H. Lieb and B. Simon, The Hartree-Fock theory for Coulomb systems,
Comm. Math. Phys. 53 (1977) 185-194,
– P.L. Lions, Solutions of Hartree-Fock equations for Coulomb systems,
Comm. Math. Phys. 109 (1987) 33-97.
Pour les modèles rapidement évoqués dans la Section 5.3, on pourra si on le
désire consulter
– M. Lewin, Solutions of the multiconfigurational equations in quantum
chemistry, Arch. Rat. Mech. Anal. 171 (2004) 83-114.
133
Un dernier problème est intimement lié au modèle de Hartree-Fock : il s’agit
du modèle de Kohn-Sham (1.17) présenté Section 1.5.3, et du modèle simplifié
inf
E
KS (φ 1 , · · · , φ N ), φ i ∈ H
1
IR
3
,
I R 3
φ
2
i = 1
(5.35)
avec, comme pour le modèle de Kohn-Sham,
E
KS (φ 1 , · · · , φ N ) =
N
i=1
1
2
I R 3
|∇φ i |
2 +
I R 3
ρV +
1
2
D(ρ, ρ) + E xc (ρ), (5.36)
où ρ(x) =
N
i=1
φ
2
i (x) et D(ρ, ρ) =
1
2
I R 3
I R 3
ρ(x)ρ(y)
|x − y|
dx dy, et où E xc (ρ) est
une fonctionnelle de ρ, par exemple de la forme c
I R 3
ρ
4/3 . Pour l’étude de ces
deux modèles (pour lequel le problème à l’infini n’est typiquement pas nul),
on renvoie à la littérature (voir la Section 5.5).
5.4 Résumé
Ce chapitre, qui termine notre séquence de quatre chapitres sur l’existence
d’un minimum pour une gamme de problèmes de minimisation, a été consacré
à l’analyse du modèle de Hartree-Fock, clairement un des modèles capitaux du
point de vue des applications. On y a vu que l’existence d’un état fondamental
était connue, mais que son unicité (à transformation orthogonale près bien sûr)
restait un problème ouvert, sans doute extrêmement difficile.
5.5 Pour en savoir plus
La preuve que nous avons indiquée de la compacité du modèle de Hartree-Fock
peut être lue dans les deux articles
– E. H. Lieb and B. Simon, The Hartree-Fock theory for Coulomb systems,
Comm. Math. Phys. 53 (1977) 185-194,
– P.L. Lions, Solutions of Hartree-Fock equations for Coulomb systems,
Comm. Math. Phys. 109 (1987) 33-97.
Pour les modèles rapidement évoqués dans la Section 5.3, on pourra si on le
désire consulter
– M. Lewin, Solutions of the multiconfigurational equations in quantum
chemistry, Arch. Rat. Mech. Anal. 171 (2004) 83-114.