128
5 Le modèle de Hartree-Fock
Le fait que
1
2
ρ Φ (x)ρ Φ (y)
|x − y|
−
1
2
|τ Φ (x, y)|
2
|x − y|
≤ lim inf
1
2
ρ Φn (x)ρ Φn (y)
|x − y|
−
1
2
|τ Φn (x, y)|
2
|x − y|
(5.20)
est une conséquence de l’observation suivante. Si les suites (φ 1,n ) n∈I N et
(φ 2,n ) n∈I N convergent faiblement dans H
1 (IR
3 ) vers respectivement φ 1 et φ 2 ,
alors la suite de fonctions (φ 1,n (x 1 )φ 2,n (x 2 ) − φ 1,n (x 2 )φ 2,n (x 1 )) n∈I N converge
faiblement vers φ 1 (x 1 )φ 2 (x 2 ) − φ 1 (x 2 )φ 2 (x 1 ) dans L
2 (IR
3
× IR
3 ) par exemple.
Or, il est facile de voir que l’assertion (5.20) peut se récrire
lim inf
n→+∞
i =j
φ i,n (x)φ j,n (y) − φ i,n (y)φ j,n (x)
2
|x − y|
≥
i =j
φ i (x)φ j (y) − φ i (y)φ j (x)
2
|x − y|
,
(5.21)
et qu’il suffit donc de montrer
lim inf
n→+∞
φ i,n (x)φ j,n (y) − φ i,n (y)φ j,n (x)
2
|x − y|
≥
φ i (x)φ j (y) − φ i (y)φ j (x)
2
|x − y|
.
(5.22)
Pour prouver (5.22), il suffit de remarquer que la forme quadratique positive
f −→
f (x, y)
2
|x − y|
est continue pour la topologie forte, et donc semi-continue inférieurement
(puisqu’elle est convexe) pour la topologie faible. On obtient ainsi (5.18).
Désormais, nous savons donc que la limite faible (φ 1 , · · · , φ N ) de notre suite
minimisante est un minimum du problème à contrainte relâchée (5.16). Pour
conclure à la compacité recherchée, il suffit de montrer que la contrainte est
saturée, c’est-à-dire que l’on a
I R 3
φ i φ j
= I N . Nous faisons d’abord les deux
remarques suivantes (en apparence toutes les deux anodines, mais en fait la
seconde simplifie grandement les choses techniquement) :
• il suffit de montrer qu’un N -uplet obtenu par une transformation orthogonale à partir du N -uplet de départ (φ 1 , · · · , φ N ) vérifie la propriété
I R 3
φ i φ j
= I N , puisque si cette propriété est vérifiée pour l’un d’entre
eux, elle est vérifiée pour tous,
• la fonctionnelle d’énergie de Hartree-Fock est justement invariante par
transformation orthogonale sur le N -uplet (φ 1 , · · · , φ N ).
5 Le modèle de Hartree-Fock
Le fait que
1
2
ρ Φ (x)ρ Φ (y)
|x − y|
−
1
2
|τ Φ (x, y)|
2
|x − y|
≤ lim inf
1
2
ρ Φn (x)ρ Φn (y)
|x − y|
−
1
2
|τ Φn (x, y)|
2
|x − y|
(5.20)
est une conséquence de l’observation suivante. Si les suites (φ 1,n ) n∈I N et
(φ 2,n ) n∈I N convergent faiblement dans H
1 (IR
3 ) vers respectivement φ 1 et φ 2 ,
alors la suite de fonctions (φ 1,n (x 1 )φ 2,n (x 2 ) − φ 1,n (x 2 )φ 2,n (x 1 )) n∈I N converge
faiblement vers φ 1 (x 1 )φ 2 (x 2 ) − φ 1 (x 2 )φ 2 (x 1 ) dans L
2 (IR
3
× IR
3 ) par exemple.
Or, il est facile de voir que l’assertion (5.20) peut se récrire
lim inf
n→+∞
i =j
φ i,n (x)φ j,n (y) − φ i,n (y)φ j,n (x)
2
|x − y|
≥
i =j
φ i (x)φ j (y) − φ i (y)φ j (x)
2
|x − y|
,
(5.21)
et qu’il suffit donc de montrer
lim inf
n→+∞
φ i,n (x)φ j,n (y) − φ i,n (y)φ j,n (x)
2
|x − y|
≥
φ i (x)φ j (y) − φ i (y)φ j (x)
2
|x − y|
.
(5.22)
Pour prouver (5.22), il suffit de remarquer que la forme quadratique positive
f −→
f (x, y)
2
|x − y|
est continue pour la topologie forte, et donc semi-continue inférieurement
(puisqu’elle est convexe) pour la topologie faible. On obtient ainsi (5.18).
Désormais, nous savons donc que la limite faible (φ 1 , · · · , φ N ) de notre suite
minimisante est un minimum du problème à contrainte relâchée (5.16). Pour
conclure à la compacité recherchée, il suffit de montrer que la contrainte est
saturée, c’est-à-dire que l’on a
I R 3
φ i φ j
= I N . Nous faisons d’abord les deux
remarques suivantes (en apparence toutes les deux anodines, mais en fait la
seconde simplifie grandement les choses techniquement) :
• il suffit de montrer qu’un N -uplet obtenu par une transformation orthogonale à partir du N -uplet de départ (φ 1 , · · · , φ N ) vérifie la propriété
I R 3
φ i φ j
= I N , puisque si cette propriété est vérifiée pour l’un d’entre
eux, elle est vérifiée pour tous,
• la fonctionnelle d’énergie de Hartree-Fock est justement invariante par
transformation orthogonale sur le N -uplet (φ 1 , · · · , φ N ).