5.2 Compacité pour Hartree-Fock
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Puis, nous définissons la matrice [a ij ] par a ij = δ ij −
I R 3
φ i φ j . On peut
trouver des fonctions ψ i de classe C
∞ à support compact dans IR
3 telles que
I R 3
ψ i ψ j
= [a ij ]. De plus, > 0 étant fixé (le même que précédemment par
exemple), il est possible de modifier les ψ i par un changement d’échelle (le
même pour toutes, de sorte de conserver l’égalité
I R 3
ψ i ψ j
= [a ij ]) pour
obtenir
A =
N
i=1
I R 3
|∇ψ i |
2 +
1
2
I R 3
I R 3
ρ Ψ (x)ρ Ψ (y)
|x − y|
−
1
2
I R 3
I R 3
|τ Ψ (x, y)|
2
|x − y|
≤
(5.17)
où τ Ψ (x, y) =
N
i=1
ψ i (x)ψ i (y) et ρ Ψ (x) = τ Ψ (x, x). En considérant alors les
fonctions tests φ i,n (x) = φ i (x) + ψ i (x + ne) où n est un entier assez grand, et
e est un vecteur unitaire de IR
3 , on obtient
I R 3
φ i,n φ j,n = δ ij ,
et
E
HF (φ 1,n , · · · , φ N,n ) −→
n→+∞
E
HF (φ 1 , · · · , φ N ) + A,
de sorte que
I
HF
≤ E
HF (φ 1,n , · · · , φ N,n )
≤ 3 + inf
E
HF (φ 1 , · · · , φ N ), φ i ∈ H
1
IR
3
,
I R 3
φ i φ j
≤ I N
,
pour n assez grand, et on obtient finalement l’égalité (5.16).
Revenons maintenant à la limite faible (φ 1 , · · · , φ N ) de notre suite minimisante, et montrons qu’elle est un minimum de ce problème à contrainte relâchée (5.16). Il suffit à ce stade de prouver
E
HF (φ 1 , · · · , φ N ) ≤ lim inf
n→+∞
E
HF (φ 1,n , · · · , φ N,n ).
(5.18)
Il est standard maintenant que l’on a
N
i=1
I R 3
|∇φ i |
2 +
N
i=1
I R 3
V φ
2
i ≤ lim inf
n→+∞
N
i=1
I R 3
|∇φ i,n |
2 +
N
i=1
I R 3
V φ
2
i,n .
(5.19)