5.2 Compacité pour Hartree-Fock
125
E
HF (φ 1 , · · · , φ N ) =
N
i=1
I R 3
|∇φ i |
2 +
I R 3
ρ Φ V +
1
2
I R 3
I R 3
ρ Φ (x)ρ Φ (y)
|x − y|
dx dy
−
1
2
I R 3
I R 3
|τ Φ (x, y)|
2
|x − y|
,
(5.8)
où on a noté
τ Φ (x, y) =
N
i=1
φ i (x)φ i (y),
(5.9)
ρ Φ (x) = τ Φ (x, x).
(5.10)
L’objet de la section 5.2, qui forme l’essentiel de ce chapitre, va être de montrer que le problème de Hartree-Fock (5.7) est compact. On évoquera ensuite
quelques modèles proches de celui-là (Section 5.3).
5.2 Compacité pour Hartree-Fock
Le but de cette section est de prouver la Proposition suivante.
Proposition 5.1. (Compacité pour le modèle Hartree-Fock) On suppose que la charge nucléaire totale Z =
M
k=1
z k vérifie Z > N − 1. Alors toutes
les suites minimisantes du problème (5.7) sont relativement compactes dans
H
1 (IR
3 )
N , et en particulier il existe un minimum.
Comme nous allons le voir, nous avons toutes les techniques et tous les ingrédients prêts pour la preuve de cette Proposition. Il ne s’agira que d’une application directe de raisonnements déjà faits. Nous allons d’abord montrer que
les suites minimisantes sont bornées, puis que le problème à l’infini est nul,
ce qui permet en fait, selon la méthode déjà vue au Chapitre 3, de relâcher la
contrainte. Enfin, nous appliquerons le Théorème 4.7 pour conclure.
5.2.1 Préliminaires
Prenons une suite minimisante arbitraire du problème de minimisation (5.7).
Il s’agit donc d’une suite de N -uplets
(φ 1,n , φ 2,n , · · · , φ N,n )
(5.11)
vérifiant identiquement en n
I R 3
φ i,n φ j,n = δ ij ,
(5.12)
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E
HF (φ 1 , · · · , φ N ) =
N
i=1
I R 3
|∇φ i |
2 +
I R 3
ρ Φ V +
1
2
I R 3
I R 3
ρ Φ (x)ρ Φ (y)
|x − y|
dx dy
−
1
2
I R 3
I R 3
|τ Φ (x, y)|
2
|x − y|
,
(5.8)
où on a noté
τ Φ (x, y) =
N
i=1
φ i (x)φ i (y),
(5.9)
ρ Φ (x) = τ Φ (x, x).
(5.10)
L’objet de la section 5.2, qui forme l’essentiel de ce chapitre, va être de montrer que le problème de Hartree-Fock (5.7) est compact. On évoquera ensuite
quelques modèles proches de celui-là (Section 5.3).
5.2 Compacité pour Hartree-Fock
Le but de cette section est de prouver la Proposition suivante.
Proposition 5.1. (Compacité pour le modèle Hartree-Fock) On suppose que la charge nucléaire totale Z =
M
k=1
z k vérifie Z > N − 1. Alors toutes
les suites minimisantes du problème (5.7) sont relativement compactes dans
H
1 (IR
3 )
N , et en particulier il existe un minimum.
Comme nous allons le voir, nous avons toutes les techniques et tous les ingrédients prêts pour la preuve de cette Proposition. Il ne s’agira que d’une application directe de raisonnements déjà faits. Nous allons d’abord montrer que
les suites minimisantes sont bornées, puis que le problème à l’infini est nul,
ce qui permet en fait, selon la méthode déjà vue au Chapitre 3, de relâcher la
contrainte. Enfin, nous appliquerons le Théorème 4.7 pour conclure.
5.2.1 Préliminaires
Prenons une suite minimisante arbitraire du problème de minimisation (5.7).
Il s’agit donc d’une suite de N -uplets
(φ 1,n , φ 2,n , · · · , φ N,n )
(5.11)
vérifiant identiquement en n
I R 3
φ i,n φ j,n = δ ij ,
(5.12)