4.7 Pour en savoir plus
121
qui met en échec la méthode directe d’approche des problèmes de minimisation
que nous avions développée au Chapitre 3. Certes, on pourrait à grand peine
modifier cette dernière pour qu’elle permette de conclure ici, mais il est bien
plus naturel de règler cette situation par l’approche concentration-compacité.
On a vu de plus que cette approche permettait de bien comprendre ce qui se
passe quand ça se passe mal. Très intuitivement, on pourra donc se servir du
schéma de pensée pour “deviner”, dans d’autres problèmes de minimisation,
ce qui risque d’arriver aux suites minimisantes.
4.7 Pour en savoir plus
On l’a déjà dit au Chapitre 3, la référence pour la méthode de concentrationcompacité est l’article initial
– P.L. Lions, The concentration-compactness principle in the calculus of
variations. The locally compact case, part1 & 2, Ann. Inst. Henri Poincaré 1 (1984) 109-145 and 223-283.
Pour les problèmes non localement compacts, et pour voir en particulier ce
qu’on appelle le Lemme de concentration-compacité II, il faudra se reporter à
– P.L. Lions, The concentration-compactness principle in the calculus of
variations. The limit case, Revista Matematica Iberoamericana 1 (1985)
1.
Nous avons aussi déjà signalé la présentation résumée de P.L. Lions au Séminaire EDP (Goulaouic-Meyer-Schwartz) de l’Ecole Polytechnique en 19821983 (exposé XIV, février 1983), ainsi que l’appendice de l’article
– P.L. Lions, Solutions of Hartree-Fock equations for Coulomb systems,
Comm. Math. Phys. 109 (1987) 33-97.
Un autre endroit pour lire la méthode de concentration-compacité (et aussi
d’ailleurs le principe d’Ekeland, et de nombreuses autres choses sur les problèmes de minimisation) est
– M. Struwe, Variational Methods. Applications to nonlinear PDEs and
Hamiltonian systems, Springer 1996.
De même, on pourra aussi consulter
– O. Kavian, Introduction à la Théorie des points critiques, Mathématiques et Applications 13, Springer 1993,
– L.C. Evans, Weak convergence methods for nonlinear PDE, Conference
Board of the Mathematical Sciences, Regional Conference Series in Mathematics 74, American Mathematical Society 1988.
Enfin, pour une application remarquable mais difficile de l’approche concentration-compacité, on pourra regarder
– I. Catto and P.-L. Lions Binding of atoms and stability of molecules in
Hartree and Thomas-Fermi type theories, Part I, II, III and IV, Comm.
Part. Diff. Equ. 17 and 18 (1992 and 1993).
121
qui met en échec la méthode directe d’approche des problèmes de minimisation
que nous avions développée au Chapitre 3. Certes, on pourrait à grand peine
modifier cette dernière pour qu’elle permette de conclure ici, mais il est bien
plus naturel de règler cette situation par l’approche concentration-compacité.
On a vu de plus que cette approche permettait de bien comprendre ce qui se
passe quand ça se passe mal. Très intuitivement, on pourra donc se servir du
schéma de pensée pour “deviner”, dans d’autres problèmes de minimisation,
ce qui risque d’arriver aux suites minimisantes.
4.7 Pour en savoir plus
On l’a déjà dit au Chapitre 3, la référence pour la méthode de concentrationcompacité est l’article initial
– P.L. Lions, The concentration-compactness principle in the calculus of
variations. The locally compact case, part1 & 2, Ann. Inst. Henri Poincaré 1 (1984) 109-145 and 223-283.
Pour les problèmes non localement compacts, et pour voir en particulier ce
qu’on appelle le Lemme de concentration-compacité II, il faudra se reporter à
– P.L. Lions, The concentration-compactness principle in the calculus of
variations. The limit case, Revista Matematica Iberoamericana 1 (1985)
1.
Nous avons aussi déjà signalé la présentation résumée de P.L. Lions au Séminaire EDP (Goulaouic-Meyer-Schwartz) de l’Ecole Polytechnique en 19821983 (exposé XIV, février 1983), ainsi que l’appendice de l’article
– P.L. Lions, Solutions of Hartree-Fock equations for Coulomb systems,
Comm. Math. Phys. 109 (1987) 33-97.
Un autre endroit pour lire la méthode de concentration-compacité (et aussi
d’ailleurs le principe d’Ekeland, et de nombreuses autres choses sur les problèmes de minimisation) est
– M. Struwe, Variational Methods. Applications to nonlinear PDEs and
Hamiltonian systems, Springer 1996.
De même, on pourra aussi consulter
– O. Kavian, Introduction à la Théorie des points critiques, Mathématiques et Applications 13, Springer 1993,
– L.C. Evans, Weak convergence methods for nonlinear PDE, Conference
Board of the Mathematical Sciences, Regional Conference Series in Mathematics 74, American Mathematical Society 1988.
Enfin, pour une application remarquable mais difficile de l’approche concentration-compacité, on pourra regarder
– I. Catto and P.-L. Lions Binding of atoms and stability of molecules in
Hartree and Thomas-Fermi type theories, Part I, II, III and IV, Comm.
Part. Diff. Equ. 17 and 18 (1992 and 1993).