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4 Un cas difficile : fonctionnelle d’énergie non convexe sur l’espace entier
Proposition 4.1. Pour λ ≤ Z, toutes les suites minimisantes de I λ défini
par (4.1) sont compactes dans H
1 (IR
3 ) à extraction près et en particulier il
existe un minimum.
Remarque 4.13 Comme notre preuve s’applique aussi au cas du modèle de
Thomas-Fermi-von Weizsäcker du Chapitre 3, on en déduit que pour ce modèle
aussi, si λ ≤ Z, toutes les suites minimisantes sont convergentes à extraction
près.
4.5 Quelques compléments
La proposition ci-dessus n’est pas loin de rassembler tout ce qu’on sait sur
le modèle de Thomas-Fermi-Dirac-von Weizsäcker. En effet, contrairement
au cas du modèle sans correction de Dirac qui est convexe, et pour lequel
de nombreuses autres choses peuvent être prouvées, la non convexité de la
fonctionnelle d’énergie considérée ici empèche de poursuivre l’analyse très loin.
Certes, on peut prouver comme au chapitre 3, que le minimum vérifie certaines
qualités de régularité et de décroissance à l’infini (en fait les mêmes). Mais la
propriété essentielle, à savoir celle de l’unicité (au signe près bien sûr), reste
hors d’atteinte. Dès lors, on ne peut pas prouver non plus de propriété de
symétrie, puisque notre raisonnement du Chapitre 3 faisait appel notamment
à l’unicité.
Nous devons néanmoins apporter un bémol à ceci. Dans le cas où on place
devant le terme de correction de Dirac un coefficient assez petit, alors le
modèle de Thomas-Fermi-Dirac-von Weizsäcker ainsi construit partage essentiellement les mêmes caractéristiques que le modèle de Thomas-Fermi-von
Weizsäcker : en particulier, le minimum est alors unique, sous de bonnes conditions. Ce résultat repose sur la remarque heuristique suivante : le modèle de
TFW est “très” convexe, et on peut donc le perturber un peu par un petit
terme non convexe tout en lui gardant essentiellement les mêmes propriétés.
En revanche, même pour un coefficient petit, un problème reste ouvert dans le
modèle de Thomas-Fermi-Dirac-von Weizsäcker. On ne sait pas s’il existe un
nombre maximal d’électrons qu’un nombre donné de charges positives peut
lier dans le cadre de ce modèle. Autrement dit, on ne sait pas s’il existe un λ c
au delà duquel il n’y a plus de minimum au problème variationnel.
4.6 Résumé
Ce chapitre a mis en œuvre explicitement la méthode de concentrationcompacité sur l’exemple d’un modèle réputé difficile de Chimie Quantique.
Pourquoi difficile ? parce que la fonctionnelle d’énergie n’est pas convexe, ce
4 Un cas difficile : fonctionnelle d’énergie non convexe sur l’espace entier
Proposition 4.1. Pour λ ≤ Z, toutes les suites minimisantes de I λ défini
par (4.1) sont compactes dans H
1 (IR
3 ) à extraction près et en particulier il
existe un minimum.
Remarque 4.13 Comme notre preuve s’applique aussi au cas du modèle de
Thomas-Fermi-von Weizsäcker du Chapitre 3, on en déduit que pour ce modèle
aussi, si λ ≤ Z, toutes les suites minimisantes sont convergentes à extraction
près.
4.5 Quelques compléments
La proposition ci-dessus n’est pas loin de rassembler tout ce qu’on sait sur
le modèle de Thomas-Fermi-Dirac-von Weizsäcker. En effet, contrairement
au cas du modèle sans correction de Dirac qui est convexe, et pour lequel
de nombreuses autres choses peuvent être prouvées, la non convexité de la
fonctionnelle d’énergie considérée ici empèche de poursuivre l’analyse très loin.
Certes, on peut prouver comme au chapitre 3, que le minimum vérifie certaines
qualités de régularité et de décroissance à l’infini (en fait les mêmes). Mais la
propriété essentielle, à savoir celle de l’unicité (au signe près bien sûr), reste
hors d’atteinte. Dès lors, on ne peut pas prouver non plus de propriété de
symétrie, puisque notre raisonnement du Chapitre 3 faisait appel notamment
à l’unicité.
Nous devons néanmoins apporter un bémol à ceci. Dans le cas où on place
devant le terme de correction de Dirac un coefficient assez petit, alors le
modèle de Thomas-Fermi-Dirac-von Weizsäcker ainsi construit partage essentiellement les mêmes caractéristiques que le modèle de Thomas-Fermi-von
Weizsäcker : en particulier, le minimum est alors unique, sous de bonnes conditions. Ce résultat repose sur la remarque heuristique suivante : le modèle de
TFW est “très” convexe, et on peut donc le perturber un peu par un petit
terme non convexe tout en lui gardant essentiellement les mêmes propriétés.
En revanche, même pour un coefficient petit, un problème reste ouvert dans le
modèle de Thomas-Fermi-Dirac-von Weizsäcker. On ne sait pas s’il existe un
nombre maximal d’électrons qu’un nombre donné de charges positives peut
lier dans le cadre de ce modèle. Autrement dit, on ne sait pas s’il existe un λ c
au delà duquel il n’y a plus de minimum au problème variationnel.
4.6 Résumé
Ce chapitre a mis en œuvre explicitement la méthode de concentrationcompacité sur l’exemple d’un modèle réputé difficile de Chimie Quantique.
Pourquoi difficile ? parce que la fonctionnelle d’énergie n’est pas convexe, ce