4.4 La concentration-compacité par l’exemple
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facile de voir que, allié aux résultats de convergence forte locale que nous
connaissons déjà sur la suite minimisante, cela entraîne la convergence (à
extraction près, et à translation x n près) de la suite au sens L
2 (IR
3 ), et plus
généralement au sens L
p (IR
3 ) pour tout 2 ≤ p < 6 (par un raisonnement
analogue de celui fait en (4.21)), et donc en particulier cela permet de passer
à la limite pour le terme “difficile” de l’énergie, à savoir le terme −
I R 3
u
8/3 .
On pourra, à titre d’exercice, écrire précisément le raisonnement ci-dessus.
A ce stade, on remarque que nécessairement la suite (x n ) n∈I N (la suite des
translations issues du lemme de concentration-compacité) est bornée, ce qui
donne la convergence “tout court” et plus seulement la convergence à translation près. En effet, raisonnons par l’absurde et supposons |x n | −→ +∞. Soit
v = lim u n (· + x n ). Dans cette situation, il est clair que la limite faible u de
(u n ) n∈I N est u = 0. On a alors
I R 3
|u n |
2
|x|
−→ 0, et donc
lim inf
n→+∞
E(u n ) ≥ E
∞ (v),
ce qui entraîne
I λ ≥ E
∞ (v) ≥ I
∞
λ ,
et donc I λ = I
∞
λ . Il s’ensuit que v minimise I
∞
λ . De là,
I λ ≤ E(v) = E
∞ (v) −
I R 3
|v|
2
|x|
≤ E
∞ (v) = I
∞
λ ≤ I λ ,
d’où v = 0 ce qui est absurde (car alors I
∞
λ serait nul, et il ne l’est pas). Donc
(x n ) n∈I N est bien bornée.
On obtient donc alors la convergence en ce sens vers un minimum du problème
I λ . A posteriori, en utilisant un raisonnement déjà fait aux Chapitres 2 et
3, cela donne aussi la convergence forte dans H
1 (IR
3 ) (et donc aussi dans
L
6 (IR
3 )).
Il s’agit encore une fois de remarquer que nous avons fait mieux que montrer
l’existence d’un minimum au problème : nous avons en fait montré que la
sous-additivité stricte était vérifiée sur [0, Z] (prendre les fonctions réalisant
les minima de I α et I
∞
λ−α , dont on sait maintenant qu’elles existent, et leur
appliquer le raisonnement ci-dessus). En conséquence, si on prend maintenant
une suite minimisante arbitraire, on connaît son comportement à extraction
près. Si elle n’était pas compacte, cela contredirait, via le raisonnement qui
a montré (4.33) ci-dessus, cette sous-additivité stricte. Un autre manière de
raisonner pour régler le cas d’une suite minimisante arbitraire est de se souvenir que, quand nous avons procédé par le principe d’Ekeland, nous avons
changé la suite minimisante en une suite aussi proche que voulue, et donc que
le comportement de la suite de départ est le même, comme indiqué déjà en
Section 4.4. Nous avons prouvé :
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facile de voir que, allié aux résultats de convergence forte locale que nous
connaissons déjà sur la suite minimisante, cela entraîne la convergence (à
extraction près, et à translation x n près) de la suite au sens L
2 (IR
3 ), et plus
généralement au sens L
p (IR
3 ) pour tout 2 ≤ p < 6 (par un raisonnement
analogue de celui fait en (4.21)), et donc en particulier cela permet de passer
à la limite pour le terme “difficile” de l’énergie, à savoir le terme −
I R 3
u
8/3 .
On pourra, à titre d’exercice, écrire précisément le raisonnement ci-dessus.
A ce stade, on remarque que nécessairement la suite (x n ) n∈I N (la suite des
translations issues du lemme de concentration-compacité) est bornée, ce qui
donne la convergence “tout court” et plus seulement la convergence à translation près. En effet, raisonnons par l’absurde et supposons |x n | −→ +∞. Soit
v = lim u n (· + x n ). Dans cette situation, il est clair que la limite faible u de
(u n ) n∈I N est u = 0. On a alors
I R 3
|u n |
2
|x|
−→ 0, et donc
lim inf
n→+∞
E(u n ) ≥ E
∞ (v),
ce qui entraîne
I λ ≥ E
∞ (v) ≥ I
∞
λ ,
et donc I λ = I
∞
λ . Il s’ensuit que v minimise I
∞
λ . De là,
I λ ≤ E(v) = E
∞ (v) −
I R 3
|v|
2
|x|
≤ E
∞ (v) = I
∞
λ ≤ I λ ,
d’où v = 0 ce qui est absurde (car alors I
∞
λ serait nul, et il ne l’est pas). Donc
(x n ) n∈I N est bien bornée.
On obtient donc alors la convergence en ce sens vers un minimum du problème
I λ . A posteriori, en utilisant un raisonnement déjà fait aux Chapitres 2 et
3, cela donne aussi la convergence forte dans H
1 (IR
3 ) (et donc aussi dans
L
6 (IR
3 )).
Il s’agit encore une fois de remarquer que nous avons fait mieux que montrer
l’existence d’un minimum au problème : nous avons en fait montré que la
sous-additivité stricte était vérifiée sur [0, Z] (prendre les fonctions réalisant
les minima de I α et I
∞
λ−α , dont on sait maintenant qu’elles existent, et leur
appliquer le raisonnement ci-dessus). En conséquence, si on prend maintenant
une suite minimisante arbitraire, on connaît son comportement à extraction
près. Si elle n’était pas compacte, cela contredirait, via le raisonnement qui
a montré (4.33) ci-dessus, cette sous-additivité stricte. Un autre manière de
raisonner pour régler le cas d’une suite minimisante arbitraire est de se souvenir que, quand nous avons procédé par le principe d’Ekeland, nous avons
changé la suite minimisante en une suite aussi proche que voulue, et donc que
le comportement de la suite de départ est le même, comme indiqué déjà en
Section 4.4. Nous avons prouvé :