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4 Un cas difficile : fonctionnelle d’énergie non convexe sur l’espace entier
(4.54) elle-même, on récupère la même estimation exponentielle pour le terme
en gradient, et donc finalement (4.53).
Bâtissons maintenant la fonction w t (x) = u 1 (x) + u 2 (x + te) où e est un
vecteur unitaire de IR
3 et t un paramètre réel qui est destiné in fine à être très
grand et qui figure la “distance” séparant les deux “supports” des fonctions
u 1 et u 2 (· + te). On normalise cette fonction en posant v t =
w t
t L 2
√
λ. Nous
prétendons que
E(v t ) = E(u 1 ) + E
∞ (u 2 ) +
1
t
(α − Z)(λ − α) + o
1
t
,
(4.55)
quand t tend vers l’infini.
Remarque 4.12 Il s’agit en fait d’un calcul de forces d’interaction à grande
distance.
Pour voir que (4.55) est vérifiée, nous ne donnons pas toutes les vérifications
détaillées (les faire en exercice pour l’avoir fait au moins une fois dans sa vie),
mais il est facile de se convaincre que l’on peut écrire d’abord
E(v t ) = E(u 1 ) + E
∞ (u 2 ) −
I R 3
K
k=1
z k
|x − ¯
x k |
u
2
2 (x + te)
+
I R 3 ×I R 3
u
2
1 (x)u
2
2 (y + te)
|x − y|
dx dy + autres termes, (4.56)
où les autres termes sont des termes exponentiellement petits car ils proviennent d’intégrales portant sur des fonctions de type u 1 (x)u 2 (x + te) (ou
sur leur gradient) lesquelles se contrôlent à cause de (4.53). De même, la normalisation de v t à partir de w t fournit aussi des corrections exponentiellement
petites.
A partir de (4.56), il est direct de prouver (4.55), puisqu’encore une fois,
la décroissance exponentielle des fonction u i donnée par (4.53) permet de
découpler facilement les termes.
Une fois (4.55) établie, la contradiction est immédiate : pour t assez grand,
on obtient
E(v t ) < E(u 1 ) + E
∞ (u 2 ),
(4.57)
ce qui contredit le fait que E(v t ) ≥ I λ et I λ = I α + I
∞
λ−α .
4.4.2.3 Conclusion
Finalement, on a donc prouvé que le seul comportement possible était le comportement de compacité dans le Lemme 4.2. Comme nous disposons donc,
avec (4.9), d’une majoration uniforme (en n) des queues des intégrales, il est
4 Un cas difficile : fonctionnelle d’énergie non convexe sur l’espace entier
(4.54) elle-même, on récupère la même estimation exponentielle pour le terme
en gradient, et donc finalement (4.53).
Bâtissons maintenant la fonction w t (x) = u 1 (x) + u 2 (x + te) où e est un
vecteur unitaire de IR
3 et t un paramètre réel qui est destiné in fine à être très
grand et qui figure la “distance” séparant les deux “supports” des fonctions
u 1 et u 2 (· + te). On normalise cette fonction en posant v t =
w t
t L 2
√
λ. Nous
prétendons que
E(v t ) = E(u 1 ) + E
∞ (u 2 ) +
1
t
(α − Z)(λ − α) + o
1
t
,
(4.55)
quand t tend vers l’infini.
Remarque 4.12 Il s’agit en fait d’un calcul de forces d’interaction à grande
distance.
Pour voir que (4.55) est vérifiée, nous ne donnons pas toutes les vérifications
détaillées (les faire en exercice pour l’avoir fait au moins une fois dans sa vie),
mais il est facile de se convaincre que l’on peut écrire d’abord
E(v t ) = E(u 1 ) + E
∞ (u 2 ) −
I R 3
K
k=1
z k
|x − ¯
x k |
u
2
2 (x + te)
+
I R 3 ×I R 3
u
2
1 (x)u
2
2 (y + te)
|x − y|
dx dy + autres termes, (4.56)
où les autres termes sont des termes exponentiellement petits car ils proviennent d’intégrales portant sur des fonctions de type u 1 (x)u 2 (x + te) (ou
sur leur gradient) lesquelles se contrôlent à cause de (4.53). De même, la normalisation de v t à partir de w t fournit aussi des corrections exponentiellement
petites.
A partir de (4.56), il est direct de prouver (4.55), puisqu’encore une fois,
la décroissance exponentielle des fonction u i donnée par (4.53) permet de
découpler facilement les termes.
Une fois (4.55) établie, la contradiction est immédiate : pour t assez grand,
on obtient
E(v t ) < E(u 1 ) + E
∞ (u 2 ),
(4.57)
ce qui contredit le fait que E(v t ) ≥ I λ et I λ = I α + I
∞
λ−α .
4.4.2.3 Conclusion
Finalement, on a donc prouvé que le seul comportement possible était le comportement de compacité dans le Lemme 4.2. Comme nous disposons donc,
avec (4.9), d’une majoration uniforme (en n) des queues des intégrales, il est