4.4 La concentration-compacité par l’exemple
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le fait que ce soit le même. Par souci de simplicité de l’exposé, et parce que ça
ne change rien à la stratégie de preuve, on supposera dans la suite qu’il n’y a
qu’un bout, et donc que (u 2,n ) n∈I N est “compacte”.
A ce stade du raisonnement, nous pouvons donc supposer
u 1,n −→ u 1 ,
u 2,n (· + x n ) −→ u 2 ,
(4.52)
dans H
1 (IR
3 ), où u 1 (respectivement u 2 ) est un minimum de I α (respectivement I
∞
λ−α ).
Nous allons montrer que cette décomposition, dont on sait déjà qu’elle correspond à l’égalité (4.33), à savoir
I λ = I α + I
∞
λ−α ,
entraîne en fait aussi
I λ < I α + I
∞
λ−α ,
ce qui est bien sûr absurde.
4.4.2.2 Evaluation fine des termes de l’énergie
Le raisonnement que nous allons faire maintenant consiste à calculer avec
beaucoup de précision l’énergie E(u n ), que nous allons rapprocher de la somme
des énergies E(u 1,n ) + E
∞ (u 2,n ). En fait, nous n’allons pas travailler directement sur u n , u 1,n et u 2,n , mais sur des suites qui leur ressemblent et pour
lesquelles nous savons faire explicitement des calculs. Pour cela, nous allons en
fait expliquer que tout se passe grosso modo comme si les fonctions u 1,n et u 2,n
étaient à support compact, et si leurs supports s’éloignaient mutuellement à
distance infinie. En fait, ces fonctions ne sont pas rigoureusement à support
compact, mais elles le sont presque, parce qu’elles convergent respectivement
vers u 1 et, à translation près, vers u 2 , qui toutes les deux vérifient
|∇u i (x)| + |u i (x)| ≤ C
te exp(−ν|x|),
(4.53)
uniformément en x pour |x| assez grand, et pour au moins une constante
ν ∈]0,
√
θ[ (et en fait pour toutes les constantes dans cet intervalle). La raison
pour laquelle (4.53) est vraie tient au fait que les u i sont solutions d’une EDP
du type
−∆u + W u + θu = 0,
(4.54)
où θ > 0 et où le potentiel W tend vers 0 à l’infini. Par un raisonnement
de comparaison avec la solution élémentaire de l’équation −∆u + ν
2 u = 0,
raisonnement déjà fait au Chapitre 3 dans la section 3.4, on déduit facilement
de (4.54) que les u i sont à décroissance exponentielle. On laisse au lecteur
l’exercice de montrer que quand on recycle cette information dans l’équation
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le fait que ce soit le même. Par souci de simplicité de l’exposé, et parce que ça
ne change rien à la stratégie de preuve, on supposera dans la suite qu’il n’y a
qu’un bout, et donc que (u 2,n ) n∈I N est “compacte”.
A ce stade du raisonnement, nous pouvons donc supposer
u 1,n −→ u 1 ,
u 2,n (· + x n ) −→ u 2 ,
(4.52)
dans H
1 (IR
3 ), où u 1 (respectivement u 2 ) est un minimum de I α (respectivement I
∞
λ−α ).
Nous allons montrer que cette décomposition, dont on sait déjà qu’elle correspond à l’égalité (4.33), à savoir
I λ = I α + I
∞
λ−α ,
entraîne en fait aussi
I λ < I α + I
∞
λ−α ,
ce qui est bien sûr absurde.
4.4.2.2 Evaluation fine des termes de l’énergie
Le raisonnement que nous allons faire maintenant consiste à calculer avec
beaucoup de précision l’énergie E(u n ), que nous allons rapprocher de la somme
des énergies E(u 1,n ) + E
∞ (u 2,n ). En fait, nous n’allons pas travailler directement sur u n , u 1,n et u 2,n , mais sur des suites qui leur ressemblent et pour
lesquelles nous savons faire explicitement des calculs. Pour cela, nous allons en
fait expliquer que tout se passe grosso modo comme si les fonctions u 1,n et u 2,n
étaient à support compact, et si leurs supports s’éloignaient mutuellement à
distance infinie. En fait, ces fonctions ne sont pas rigoureusement à support
compact, mais elles le sont presque, parce qu’elles convergent respectivement
vers u 1 et, à translation près, vers u 2 , qui toutes les deux vérifient
|∇u i (x)| + |u i (x)| ≤ C
te exp(−ν|x|),
(4.53)
uniformément en x pour |x| assez grand, et pour au moins une constante
ν ∈]0,
√
θ[ (et en fait pour toutes les constantes dans cet intervalle). La raison
pour laquelle (4.53) est vraie tient au fait que les u i sont solutions d’une EDP
du type
−∆u + W u + θu = 0,
(4.54)
où θ > 0 et où le potentiel W tend vers 0 à l’infini. Par un raisonnement
de comparaison avec la solution élémentaire de l’équation −∆u + ν
2 u = 0,
raisonnement déjà fait au Chapitre 3 dans la section 3.4, on déduit facilement
de (4.54) que les u i sont à décroissance exponentielle. On laisse au lecteur
l’exercice de montrer que quand on recycle cette information dans l’équation