4.4 La concentration-compacité par l’exemple
115
d’où l’on déduit
Hϕ σ , ϕ σ ≤
1
σ 2
|∇ϕ|
2
−
1
σ
(Z − µ(IR
3 ))
1
|x|
ϕ
2 .
(4.50)
Pour σ encore plus grand (dépendant seulement de Z, µ(IR
3 ), et de la collection de ϕ choisie au départ), on a donc pour tout ϕ et pour un tel σ :
Hϕ σ , ϕ σ < 0,
(4.51)
et en appelant −ε n le maximum des quantités Hϕ σ , ϕ σ ainsi fabriquées, on
obtient le résultat voulu pour le sous espace de dimension n engendré par les
ϕ σ . Ceci conclut la preuve.
Remarque 4.8 On s’entraînera en exercice à faire la preuve complète du
Théorème 4.7. La stratégie est rigoureusement la même, et il s’agit de contrôler tous les termes dans l’analogue de la formule (4.48) qu’on établira. Ceci
permettra en particulier de comprendre pourquoi W doit être L
p + L
q avec
des exposants p et q inférieurs à 3. On s’attachera aussi à bien comprendre
pourquoi les ε n ne dépendent que de bornes sur les termes de H et pas explicitement des fonctions apparaissant dans H.
Supposons maintenant que θ = 0. Il est clair que le Théorème 4.7 s’applique
à l’opérateur apparaissant au membre de gauche de (4.42) avec v = u 1 ,
W =
35
9
|u 1 |
4/3
−
20
9
|u 1 |
2/3
+
,
µ = u
2
1 . Le fait qu’il y ait au moins deux valeurs propres strictement négatives
nous suffit : on ne peut pas avoir Hh, h ≥ 0 sur un espace de codimension 1.
On en déduit donc que θ > 0 dans (4.42) et (4.41) et par suite, puisque c’est
le même θ pour tous les bouts, que θ > 0 dans (4.43) et (4.40).
Remarque 4.9 Pour prouver que le multiplicateur dans (4.41) était strictement positif, on aurait pu se restreindre aux suites positives, supposer u 1 > 0,
et utiliser le Théorème 3.4. Nous avons préféré tirer parti de la condition de
second ordre, ce qui permet de conclure sans utiliser le signe. Notre motivation est aussi que, même si nous mettons ici en œuvre la méthode sur un
cas simple, nous pensons aussi à des problèmes plus généraux où on ne dispose pas du signe. Ceci sera le cas au Chapitre 5 pour le modèle de HartreeFock, ou pour des modèles dérivés, dont certains nécessitent une approche par
concentration-compacité.
Si on ajoute à l’observation θ > 0 l’assertion (4.44), et si on suppose qu’il y a
une infinité de bouts, on aboutit à une absurdité. En effet, nous sommes alors
dans la situation où on a une suite de solutions u k ≡ 0 de l’équation (4.40)
que nous rappelons ici
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d’où l’on déduit
Hϕ σ , ϕ σ ≤
1
σ 2
|∇ϕ|
2
−
1
σ
(Z − µ(IR
3 ))
1
|x|
ϕ
2 .
(4.50)
Pour σ encore plus grand (dépendant seulement de Z, µ(IR
3 ), et de la collection de ϕ choisie au départ), on a donc pour tout ϕ et pour un tel σ :
Hϕ σ , ϕ σ < 0,
(4.51)
et en appelant −ε n le maximum des quantités Hϕ σ , ϕ σ ainsi fabriquées, on
obtient le résultat voulu pour le sous espace de dimension n engendré par les
ϕ σ . Ceci conclut la preuve.
Remarque 4.8 On s’entraînera en exercice à faire la preuve complète du
Théorème 4.7. La stratégie est rigoureusement la même, et il s’agit de contrôler tous les termes dans l’analogue de la formule (4.48) qu’on établira. Ceci
permettra en particulier de comprendre pourquoi W doit être L
p + L
q avec
des exposants p et q inférieurs à 3. On s’attachera aussi à bien comprendre
pourquoi les ε n ne dépendent que de bornes sur les termes de H et pas explicitement des fonctions apparaissant dans H.
Supposons maintenant que θ = 0. Il est clair que le Théorème 4.7 s’applique
à l’opérateur apparaissant au membre de gauche de (4.42) avec v = u 1 ,
W =
35
9
|u 1 |
4/3
−
20
9
|u 1 |
2/3
+
,
µ = u
2
1 . Le fait qu’il y ait au moins deux valeurs propres strictement négatives
nous suffit : on ne peut pas avoir Hh, h ≥ 0 sur un espace de codimension 1.
On en déduit donc que θ > 0 dans (4.42) et (4.41) et par suite, puisque c’est
le même θ pour tous les bouts, que θ > 0 dans (4.43) et (4.40).
Remarque 4.9 Pour prouver que le multiplicateur dans (4.41) était strictement positif, on aurait pu se restreindre aux suites positives, supposer u 1 > 0,
et utiliser le Théorème 3.4. Nous avons préféré tirer parti de la condition de
second ordre, ce qui permet de conclure sans utiliser le signe. Notre motivation est aussi que, même si nous mettons ici en œuvre la méthode sur un
cas simple, nous pensons aussi à des problèmes plus généraux où on ne dispose pas du signe. Ceci sera le cas au Chapitre 5 pour le modèle de HartreeFock, ou pour des modèles dérivés, dont certains nécessitent une approche par
concentration-compacité.
Si on ajoute à l’observation θ > 0 l’assertion (4.44), et si on suppose qu’il y a
une infinité de bouts, on aboutit à une absurdité. En effet, nous sommes alors
dans la situation où on a une suite de solutions u k ≡ 0 de l’équation (4.40)
que nous rappelons ici