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4 Un cas difficile : fonctionnelle d’énergie non convexe sur l’espace entier
Parce que la preuve de ce résultat illustre bien les phénomènes en jeu, nous
allons exceptionnellement l’indiquer, mais par souci de simplicité de l’exposé,
nous ne la détaillerons que dans le cas un peu plus simple où on considère
seulement l’opérateur H = −∆ −
K
k=1
z k
|x − ¯
x k |
+ µ µ
1
|x|
au lieu de (4.46). Les
idées de la preuve complète du Théorème 4.7 sont déjà présentes dans cette
preuve simplifiée.
Preuve d’une version simplifiée du Théorème 4.7
D’après les formules dites de Courant-Fischer , une caractérisation de la nième valeur propre λ n d’un opérateur auto-adjoint (en dimension finie, mais
ce résultat est aussi vrai dans notre cadre) est
λ n = inf
dimF =n
sup
Hϕ, ϕ, ϕ ∈ F,
I R 3
|ϕ|
2 = 1
.
Il suffit donc pour prouver le théorème d’exhiber pour chaque entier n, un
réel ε n > 0 et un sous-espace de dimension n de H
1 (IR
3 ), noté F n tels que
sup
Hϕ, ϕ, ϕ ∈ F n ,
I R 3
|ϕ|
2 = 1
≤ −ε n < 0.
(4.47)
Nous allons construire une collection de tels espaces en utilisant encore une
fois une technique de scaling. Pour chaque n, il est clair qu’on peut trouver
un espace de dimension n de fonctions à symétrie sphérique, de classe C
∞ ,
toutes à support compact dans la couronne sphérique {x ∈ IR
3 , 1 ≤ |x| ≤ 2}.
Soit ϕ une telle fonction. posons ϕ σ = σ
−3/2 ϕ(σ
−1
·) pour σ > 0 et calculons :
Hϕ σ , ϕ σ =
1
σ 2
I R 3
|∇ϕ|
2 +
1
σ
I R 3
V σ ϕ
2 +
1
σ
I R 3
(µ σ
1
|x|
)ϕ
2 , (4.48)
où on a noté V σ = −
K
k=1
z k
|x − ¯
x k /σ|
et µ σ = σ
3 µ(σ·). Pour σ assez grand,
le support de ϕ σ est loin des noyaux et donc ceci se récrit, en utilisant le
Théorème de Gauss à bon droit puisque par hypothèse ϕ est une fonction à
symétrie sphérique,
Hϕ σ , ϕ σ =
1
σ 2
I R 3
|∇ϕ|
2
−
1
σ
I R 3
Z
|x|
ϕ
2 +
1
σ
I R 3
µ σ
1
|x|
ϕ
2 , (4.49)
De même, en utilisant le Théorème de Gauss, le dernier terme de (4.49) peut
se majorer de la façon suivante :
1
σ
I R 3
µ σ
1
|x|
ϕ
2 =
1
σ
1
max(|x|, |y|)
ϕ
2 (y)dµ σ (x)dy ≤
µ(IR
3 )
σ
I R 3
ϕ
2 (y)
|y|
dy,
4 Un cas difficile : fonctionnelle d’énergie non convexe sur l’espace entier
Parce que la preuve de ce résultat illustre bien les phénomènes en jeu, nous
allons exceptionnellement l’indiquer, mais par souci de simplicité de l’exposé,
nous ne la détaillerons que dans le cas un peu plus simple où on considère
seulement l’opérateur H = −∆ −
K
k=1
z k
|x − ¯
x k |
+ µ µ
1
|x|
au lieu de (4.46). Les
idées de la preuve complète du Théorème 4.7 sont déjà présentes dans cette
preuve simplifiée.
Preuve d’une version simplifiée du Théorème 4.7
D’après les formules dites de Courant-Fischer , une caractérisation de la nième valeur propre λ n d’un opérateur auto-adjoint (en dimension finie, mais
ce résultat est aussi vrai dans notre cadre) est
λ n = inf
dimF =n
sup
Hϕ, ϕ, ϕ ∈ F,
I R 3
|ϕ|
2 = 1
.
Il suffit donc pour prouver le théorème d’exhiber pour chaque entier n, un
réel ε n > 0 et un sous-espace de dimension n de H
1 (IR
3 ), noté F n tels que
sup
Hϕ, ϕ, ϕ ∈ F n ,
I R 3
|ϕ|
2 = 1
≤ −ε n < 0.
(4.47)
Nous allons construire une collection de tels espaces en utilisant encore une
fois une technique de scaling. Pour chaque n, il est clair qu’on peut trouver
un espace de dimension n de fonctions à symétrie sphérique, de classe C
∞ ,
toutes à support compact dans la couronne sphérique {x ∈ IR
3 , 1 ≤ |x| ≤ 2}.
Soit ϕ une telle fonction. posons ϕ σ = σ
−3/2 ϕ(σ
−1
·) pour σ > 0 et calculons :
Hϕ σ , ϕ σ =
1
σ 2
I R 3
|∇ϕ|
2 +
1
σ
I R 3
V σ ϕ
2 +
1
σ
I R 3
(µ σ
1
|x|
)ϕ
2 , (4.48)
où on a noté V σ = −
K
k=1
z k
|x − ¯
x k /σ|
et µ σ = σ
3 µ(σ·). Pour σ assez grand,
le support de ϕ σ est loin des noyaux et donc ceci se récrit, en utilisant le
Théorème de Gauss à bon droit puisque par hypothèse ϕ est une fonction à
symétrie sphérique,
Hϕ σ , ϕ σ =
1
σ 2
I R 3
|∇ϕ|
2
−
1
σ
I R 3
Z
|x|
ϕ
2 +
1
σ
I R 3
µ σ
1
|x|
ϕ
2 , (4.49)
De même, en utilisant le Théorème de Gauss, le dernier terme de (4.49) peut
se majorer de la façon suivante :
1
σ
I R 3
µ σ
1
|x|
ϕ
2 =
1
σ
1
max(|x|, |y|)
ϕ
2 (y)dµ σ (x)dy ≤
µ(IR
3 )
σ
I R 3
ϕ
2 (y)
|y|
dy,