4.4 La concentration-compacité par l’exemple
113
+
I R 3 ×I R 3
u
2
1 (x)h
2
1 (y)
|x − y|
dx dy + 2
I R 3 ×I R 3
u 1 (x)h 1 (x)u 1 (y)h 1 (y)
|x − y|
dx dy
+θ
I R 3
h
2
1 ≥ 0,
(4.42)
et
I R 3
|∇h k |
2 +
35
9
I RR 3
|u k |
4/3 h
2
k −
20
9
I R 3
|u k |
2/3 h
2
k
+
I R 3 ×I R 3
u
2
k (x)h
2
k (y)
|x − y|
dx dy + 2
I R 3 ×I R 3
u k (x)h k (x)u k (y)h k (y)
|x − y|
dx dy
+θ
I R 3
h
2
k ≥ 0,
(4.43)
pour tout h 1 et h k tels que respectivement
I R 3
u 1 h 1 = 0 et
I R 3
u k h k = 0, ce
qui est bien sûr l’analogue de (4.19). De plus, comme la masse totale de la
somme des u k est fixée, c’est λ −
I R 3
u
2
1 , on a en particulier
∞
k=2
I R 3
u
2
k < ∞
et donc
lim
k−→∞
I R 3
u
2
k = 0.
(4.44)
Nous montrons maintenant qu’une telle situation (4.40)-(4.44) n’est possible
que si θ > 0 et si il y a un nombre fini de bouts u k,n .
Commençons par faire une première observation capitale, qui sera aussi réutilisée plus tard : on a nécessairement θ > 0 dans (4.42). Cette propriété essentielle, qui est bien sûr à rapprocher des propriétés analogues vues au Chapitre 3
provient du résultat suivant, dû à P-L. Lions.
Théorème 4.7 Soit µ ≥ 0 une mesure telle que µ(IR
3 ) < Z. Soit W ∈
L
p (IR
3 ) + L
q (IR
3 ) avec W ≥ 0, 1 < p, q ≤ 3. Soit v fixé dans L
2 (IR
3 ) et R
l’opérateur défini par
Ru(x) =
I R 3
u(y)v(y)
|x − y|
dy
v(x) pour u ∈ C
∞
0 (IR
3 ).
(4.45)
Alors, pour chaque entier n, il existe ε n > 0, qui ne dépend que de bornes sur
1
Z−µ(I R 3 )
, W ∈ L
p (IR
3 ) + L
q (IR
3 ) et v ∈ L
2 (IR
3 ), tel que l’opérateur
H = −∆ −
K
k=1
z k
|x − ¯
x k |
+ W + µ µ
1
|x|
+ R
(4.46)
admet au moins n valeurs propres en dessous de −ε n .
113
+
I R 3 ×I R 3
u
2
1 (x)h
2
1 (y)
|x − y|
dx dy + 2
I R 3 ×I R 3
u 1 (x)h 1 (x)u 1 (y)h 1 (y)
|x − y|
dx dy
+θ
I R 3
h
2
1 ≥ 0,
(4.42)
et
I R 3
|∇h k |
2 +
35
9
I RR 3
|u k |
4/3 h
2
k −
20
9
I R 3
|u k |
2/3 h
2
k
+
I R 3 ×I R 3
u
2
k (x)h
2
k (y)
|x − y|
dx dy + 2
I R 3 ×I R 3
u k (x)h k (x)u k (y)h k (y)
|x − y|
dx dy
+θ
I R 3
h
2
k ≥ 0,
(4.43)
pour tout h 1 et h k tels que respectivement
I R 3
u 1 h 1 = 0 et
I R 3
u k h k = 0, ce
qui est bien sûr l’analogue de (4.19). De plus, comme la masse totale de la
somme des u k est fixée, c’est λ −
I R 3
u
2
1 , on a en particulier
∞
k=2
I R 3
u
2
k < ∞
et donc
lim
k−→∞
I R 3
u
2
k = 0.
(4.44)
Nous montrons maintenant qu’une telle situation (4.40)-(4.44) n’est possible
que si θ > 0 et si il y a un nombre fini de bouts u k,n .
Commençons par faire une première observation capitale, qui sera aussi réutilisée plus tard : on a nécessairement θ > 0 dans (4.42). Cette propriété essentielle, qui est bien sûr à rapprocher des propriétés analogues vues au Chapitre 3
provient du résultat suivant, dû à P-L. Lions.
Théorème 4.7 Soit µ ≥ 0 une mesure telle que µ(IR
3 ) < Z. Soit W ∈
L
p (IR
3 ) + L
q (IR
3 ) avec W ≥ 0, 1 < p, q ≤ 3. Soit v fixé dans L
2 (IR
3 ) et R
l’opérateur défini par
Ru(x) =
I R 3
u(y)v(y)
|x − y|
dy
v(x) pour u ∈ C
∞
0 (IR
3 ).
(4.45)
Alors, pour chaque entier n, il existe ε n > 0, qui ne dépend que de bornes sur
1
Z−µ(I R 3 )
, W ∈ L
p (IR
3 ) + L
q (IR
3 ) et v ∈ L
2 (IR
3 ), tel que l’opérateur
H = −∆ −
K
k=1
z k
|x − ¯
x k |
+ W + µ µ
1
|x|
+ R
(4.46)
admet au moins n valeurs propres en dessous de −ε n .