XII
Table des matières
2.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3 Le même problème sur l’espace tout entier . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1 Le modèle de TFW sur IR
3 : Premières propriétés . . . . . . . . . . . 61
3.1.1 Le problème est bien posé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.1.2 Introduction du problème à contrainte relâchée . . . . . . . . 66
3.2 Compacité du modèle TFW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2.1 Etude de l’équation d’Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.2 A propos de Théorie spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.3 Premier contact avec la concentration-compacité . . . . . . . . . . . . 75
3.4 Qualités du minimum de TFW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.5 Le cas purement radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.6 Thomas-Fermi avec correction de Fermi-Amaldi . . . . . . . . . . . . . 85
3.7 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.8 Pour en savoir plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4 Un cas difficile : fonctionnelle d’énergie
non convexe sur l’espace entier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2 Le lemme de concentration-compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.3 Le principe d’Ekeland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.4 La concentration-compacité par l’exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.4.1 L’évanescence est exclue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.4.2 La dichotomie est exclue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.5 Quelques compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.6 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.7 Pour en savoir plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5 Le modèle de Hartree-Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.2 Compacité pour Hartree-Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.2.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.2.2 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.3 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.4 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.5 Pour en savoir plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6 Simulation numérique des modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.1 Prolégomène : étude de l’ion hydrogénoïde . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.1.1 Identification du fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.1.2 Description complète du spectre discret . . . . . . . . . . . . . . 138
6.2 Résolution numérique du problème électronique . . . . . . . . . . . . . 142
6.2.1 Approximation de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.2.2 Bases d’orbitales atomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145