Table des matières
1 Présentation succincte des modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Modéliser la matière à l’échelle moléculaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 A la recherche du fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Problème de N -représentabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Modèle de Hartree-Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Théorie de la fonctionnelle de la densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.1 Justifications théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.2 Modèles de type Thomas-Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5.3 Modèles de type Kohn-Sham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Compléments : modèles avec spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8 Pour en savoir plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Un problème modèle sur un domaine borné . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1 Présentation du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.1 Le problème est bien défini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.2 La borne inférieure est finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.3 Les suites minimisantes sont bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Compacité du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.1 Convergence faible des suites minimisantes . . . . . . . . . . . 34
2.3.2 Convergence forte des suites minimisantes . . . . . . . . . . . . 39
2.4 Propriétés d’une fonction minimisante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4.1 Equation d’Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4.2 Régularité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4.3 Unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4.4 Symétrie radiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.5 Une remarque sur le cas d’une molécule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.6 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.7 Pour en savoir plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1 Présentation succincte des modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Modéliser la matière à l’échelle moléculaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 A la recherche du fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Problème de N -représentabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Modèle de Hartree-Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Théorie de la fonctionnelle de la densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.1 Justifications théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.2 Modèles de type Thomas-Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5.3 Modèles de type Kohn-Sham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Compléments : modèles avec spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8 Pour en savoir plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Un problème modèle sur un domaine borné . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1 Présentation du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.1 Le problème est bien défini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.2 La borne inférieure est finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.3 Les suites minimisantes sont bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Compacité du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.1 Convergence faible des suites minimisantes . . . . . . . . . . . 34
2.3.2 Convergence forte des suites minimisantes . . . . . . . . . . . . 39
2.4 Propriétés d’une fonction minimisante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4.1 Equation d’Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4.2 Régularité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4.3 Unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4.4 Symétrie radiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.5 Une remarque sur le cas d’une molécule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.6 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.7 Pour en savoir plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55