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4 Un cas difficile : fonctionnelle d’énergie non convexe sur l’espace entier
I λ ≤ lim sup
n→+∞
E(v n ) ≤ −a + lim sup
n→+∞
E
∞ (v n ) ≤ −a + I λ ,
(4.29)
ce qui est absurde.
Il en résulte que l’on peut prendre x n ≡ 0 dans la dichotomie : au moins un
“bout” de u n , noté u 1,n , de masse
I R 3
u
2
1,n = α, reste à distance finie.
Nous prétendons maintenant que nécessairement, la suite (u 1,n ) n∈I N est une
suite minimisante pour I α et la suite (u 2,n ) n∈I N est minimisante pour I
∞
λ−α .
Par un raisonnement analogue à celui que nous avons fait au Chapitre 3, on
montre
∀ 0 ≤ α ≤ λ, I λ ≤ I α + I
∞
λ−α .
(4.30)
En effet, pour tout ε > 0, on choisit u ∈ C
∞
0 (IR
3 ) tel que E(u) ≤ I α + ε et
I R 3
u
2 = α, et v ∈ C
∞
0 (IR
3 ) tel que E
∞ (v) ≤ I
∞
λ−α + ε et
I R 3
v
2 = λ − α. En
considérant w = u + v(· + te 1 ) où e 1 est un vecteur unitaire de IR
3 et t assez
grand, on voit facilement que E(w) ≤ E(u) + E
∞ (v) + ε et
I R 3
w
2 = λ, d’où
on déduit (4.30).
Revenons à notre suite (u n ) n∈I N . Il est clair que l’on a
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
lim inf E(u 1,n ) ≥ I α ,
lim inf E
∞ (u 2,n ) ≥ I
∞
λ−α ,
lim inf E(u n ) ≥ lim inf E(u 1,n ) + lim inf E
∞ (u 2,n ).
(4.31)
On déduit de (4.30) et (4.31) :
I α + I
∞
λ−α ≤ lim inf
n→+∞
E(u 1,n ) + lim inf
n→+∞
E
∞ (u 2,n ) = I λ ≤ I α + I
∞
λ−α . (4.32)
Ceci impose
I λ = I α + I
∞
λ−α ,
(4.33)
et
lim E(u 1,n ) = I α ,
lim E
∞ (u 2,n ) = I
∞
λ−α .
(4.34)
Faisons à ce stade trois commentaires qui ne sont pas essentiels pour le raisonnement qui va suivre ensuite, mais qui permettent de mieux comprendre
la situation.
1er Commentaire : Il faut d’abord noter que l’inégalité (4.30) est en fait
meilleure que ce qu’on avait prouvé précédemment dans ce chapitre, à savoir
∀0 ≤ α ≤ λ, I λ ≤ I α ,
(4.35)
car pour le problème (4.1), on a
I
∞
λ < 0.
(4.36)
4 Un cas difficile : fonctionnelle d’énergie non convexe sur l’espace entier
I λ ≤ lim sup
n→+∞
E(v n ) ≤ −a + lim sup
n→+∞
E
∞ (v n ) ≤ −a + I λ ,
(4.29)
ce qui est absurde.
Il en résulte que l’on peut prendre x n ≡ 0 dans la dichotomie : au moins un
“bout” de u n , noté u 1,n , de masse
I R 3
u
2
1,n = α, reste à distance finie.
Nous prétendons maintenant que nécessairement, la suite (u 1,n ) n∈I N est une
suite minimisante pour I α et la suite (u 2,n ) n∈I N est minimisante pour I
∞
λ−α .
Par un raisonnement analogue à celui que nous avons fait au Chapitre 3, on
montre
∀ 0 ≤ α ≤ λ, I λ ≤ I α + I
∞
λ−α .
(4.30)
En effet, pour tout ε > 0, on choisit u ∈ C
∞
0 (IR
3 ) tel que E(u) ≤ I α + ε et
I R 3
u
2 = α, et v ∈ C
∞
0 (IR
3 ) tel que E
∞ (v) ≤ I
∞
λ−α + ε et
I R 3
v
2 = λ − α. En
considérant w = u + v(· + te 1 ) où e 1 est un vecteur unitaire de IR
3 et t assez
grand, on voit facilement que E(w) ≤ E(u) + E
∞ (v) + ε et
I R 3
w
2 = λ, d’où
on déduit (4.30).
Revenons à notre suite (u n ) n∈I N . Il est clair que l’on a
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
lim inf E(u 1,n ) ≥ I α ,
lim inf E
∞ (u 2,n ) ≥ I
∞
λ−α ,
lim inf E(u n ) ≥ lim inf E(u 1,n ) + lim inf E
∞ (u 2,n ).
(4.31)
On déduit de (4.30) et (4.31) :
I α + I
∞
λ−α ≤ lim inf
n→+∞
E(u 1,n ) + lim inf
n→+∞
E
∞ (u 2,n ) = I λ ≤ I α + I
∞
λ−α . (4.32)
Ceci impose
I λ = I α + I
∞
λ−α ,
(4.33)
et
lim E(u 1,n ) = I α ,
lim E
∞ (u 2,n ) = I
∞
λ−α .
(4.34)
Faisons à ce stade trois commentaires qui ne sont pas essentiels pour le raisonnement qui va suivre ensuite, mais qui permettent de mieux comprendre
la situation.
1er Commentaire : Il faut d’abord noter que l’inégalité (4.30) est en fait
meilleure que ce qu’on avait prouvé précédemment dans ce chapitre, à savoir
∀0 ≤ α ≤ λ, I λ ≤ I α ,
(4.35)
car pour le problème (4.1), on a
I
∞
λ < 0.
(4.36)