4.4 La concentration-compacité par l’exemple
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4.4.2 La dichotomie est exclue
Supposons maintenant que nous soyons dans la situation de la dichotomie.
Nous supposons donc que la suite (u n ) n∈I N se casse donc en deux “bouts”
u n = u 1,n + u 2,n qui sont tels que
I R 3
u
2
1,n = α,
I R 3
u
2
2,n = λ − α,
0 < α < 1,
(4.24)
et tels que, pour tout ε > 0, il existe une suite de points (x n ) n∈I N , une suite
de rayons (R n ) n∈I N avec R n −→ +∞ tel que
lim sup
n−→+∞
α −
BR 1 (xn)
u
2
1,n
+
(λ − α) −
BR n (xn) c
u
2
2,n
≤ ε,
(4.25)
ce qui est une façon de dire que les “supports” des suites (u 1,n ) n∈I N et (u 2,n ) n∈I N
s’éloignent infiniment l’un de l’autre.
Ce que nous prétendons d’abord c’est que dans notre cas la suite de points
(x n ) n∈I N peut toujours être prise constante égale à l’origine de l’espace. Si ce
n’est pas le cas, aucune masse parmi celle de u n ne reste à distante finie, et il
est facile de voir que cela entraîne
lim
n→+∞
I R 3
K
k=1
z k
|x − ¯
x k |
u
2
n = 0.
(4.26)
Or ceci ne peut pas être vrai. En effet, comme il n’y a pas d’évanescence, on
sait qu’il existe un rayon R, un réel δ > 0, une suite de points (x n ) n∈I N tels
que, quitte à extraire, on ait
BR(xn)
u
2
n ≥ δ > 0.
(4.27)
Posons alors v n (·) = u n (· + x n ). On a E
∞ (v n ) = E
∞ (u n ), et donc
lim
n→+∞
E
∞ (v n ) = I λ
puisque (u n ) n∈I N est minimisante pour I λ et vérifie (4.26). Mais de plus,
I R 3
K
k=1
z k
|x − ¯
x k |
v
2
n ≥
BR(0)
K
k=1
z k
|x − ¯
x k |
v
2
n
≥ max
1≤k≤K
z k (R + |¯ x k |)
−1
δ.
(4.28)
On en déduit, en notant a = max
1≤k≤K
z k (R + |¯ x k |)
−1
δ > 0