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4 Un cas difficile : fonctionnelle d’énergie non convexe sur l’espace entier
lim
n−→∞
sup
x∈I R 3
BR(x)
|u n |
2 = 0,
(4.20)
pour tout R > 0, entraîne que chaque terme négatif de l’énergie E(u n ) donnée
par la définition (4.2) tend vers 0 quand n tend vers l’infini. Par exemple,
I R 3
|u n |
8/3
≤
k∈Z Z 3
B1(k)
|u n |
8/3
≤
k∈Z Z 3
B1(k)
|u n |
2
1/3
B1(k)
|u n |
3
2/3
≤ C
te
sup
x∈I R 3
B1(x)
|u n |
2
1/3
k∈Z Z 3
B1(k)
|u n |
2 + |∇u n |
2
≤ C
te
sup
x∈I R 3
B1(x)
|u n |
2
1/3
I R 3
|u n |
2 + |∇u n |
2
≤ C
te
sup
x∈I R 3
B1(x)
|u n |
2
1/3
n→+∞
−→ 0.
(4.21)
Le terme d’attraction des noyaux se traite de manière plus simple, nous le
laissons en exercice au lecteur.
Il suffit maintenant de rappeler que nous avons montré au Chapitre 3 que
I λ < 0 pour le modèle de TFW. Or il est évident que la fonctionnelle d’énergie
TFDW minore la fonctionnelle TFW. Il en résulte qu’a fortiori dans le cas qui
nous intéresse dans ce chapitre, on a I λ < 0, ce qui montre que l’évanescence
ne peut pas se produire.
Avant d’attaquer le cas de la dichotomie, rappelons la définition que nous
avons introduite au Chapitre 3 de ce qu’on appelle le problème à l’infini. Pour
le modèle que nous étudions, nous appelons problème à l’infini et désignons
par I
∞
λ le problème de minimisation suivant :
I
∞
λ = inf
E
∞ (u), u ∈ H
1 (IR
3 ),
I R 3
|u|
2 = λ
,
(4.22)
E
∞ (u) =
I R 3
|∇u|
2 +
I R 3
|u|
10/3
−
I R 3
|u|
8/3
+
1
2
I R 3 ×I R 3
u
2 (x)u
2 (y)
|x − y|
dx dy.
(4.23)