4.4 La concentration-compacité par l’exemple
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tions du premier et du second ordre qui expriment que v n minimise (4.17).
L’assertion (4.18) est donc ce que nous avons appelé la presque équation d’Euler (ce n’est pas une appellation standard !) et est à rapprocher de la seconde
ligne de (4.16). On notera en particulier que la condition
I R 3
v n h = 0 sur les
fonctions tests h pour lesquelles est vérifiée (4.19) est la condition de premier
ordre qui assure qu’une petite variation locale v n + h de v n est tracée sur la
surface
I R 3
|w|
2 = λ.
Nous faisons immédiatement la remarque suivante : bien que le principe d’Ekeland nous donne la convergence (4.18) seulement dans H
−1 (IR
3 ) nous allons
admettre que l’on peut toujours supposer que cette convergence a aussi lieu
dans L
2 (IR
3 ), ce qui peut être montré rigoureusement, mais dépasse le cadre
de ce cours.
Une seconde remarque est la suivante : étudier la compacité de la suite
(u n ) n∈I N initiale est équivalent à étudier la compacité de la suite (v n ) n∈I N .
La raison est qu’on peut toujours supposer, par le principe d’Ekeland en choisissant bien ε et δ, que u n − v n H 1 (I R 3 ) ≤
1
n , et donc la convergence d’une
des suites entraîne celle de l’autre (cf. la Remarque 4.5).
Afin de garder des notations génériques, et compte tenu du fait que nous avons
maintenant bien analysé la nuance entre la suite (u n ) n∈I N et la suite (v n ) n∈I N ,
nous allons désormais abandonner la notation (v n ) n∈I N , et supposer directement que (u n ) n∈I N était une suite vérifiant la condition (4.18) dans L
2 (IR
3 )
et la condition (4.19). Appliquons maintenant le lemme de concentrationcompacité à cette suite (u n ) n∈I N . Ceci peut être fait à bon droit puisque la
suite (u n ) n∈I N vérifie par hypothèse
I R 3
u
2
n = λ et donc u
2
n définit à normalisation près une mesure de probabilité sur IR
3 . Quitte à extraire (et nous
gardons alors encore la même notation), la suite (u n ) n∈I N a un des trois types
de comportement énoncés dans le lemme 4.2. Nous allons montrer que seule
la compacité est possible en excluant tour à tour les deux autres cas. Notre
argument va bien sûr utiliser le fait que (u n ) n∈I N n’est pas une suite bornée
quelconque, mais une suite minimisante de (4.1) qui en plus vérifie (4.18) et
(4.19).
4.4.1 L’évanescence est exclue
Pour évacuer le cas d’évanescence, nous n’avons en fait pas besoin d’utiliser
les conditions (4.18) et (4.19). Le fait que u n est une suite minimisante de
(4.1) va suffire.
Nous commençons par remarquer que si l’évanescence a lieu, alors nécessairement I λ ≥ 0. En effet, la condition (4.10) qui s’écrit ici
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tions du premier et du second ordre qui expriment que v n minimise (4.17).
L’assertion (4.18) est donc ce que nous avons appelé la presque équation d’Euler (ce n’est pas une appellation standard !) et est à rapprocher de la seconde
ligne de (4.16). On notera en particulier que la condition
I R 3
v n h = 0 sur les
fonctions tests h pour lesquelles est vérifiée (4.19) est la condition de premier
ordre qui assure qu’une petite variation locale v n + h de v n est tracée sur la
surface
I R 3
|w|
2 = λ.
Nous faisons immédiatement la remarque suivante : bien que le principe d’Ekeland nous donne la convergence (4.18) seulement dans H
−1 (IR
3 ) nous allons
admettre que l’on peut toujours supposer que cette convergence a aussi lieu
dans L
2 (IR
3 ), ce qui peut être montré rigoureusement, mais dépasse le cadre
de ce cours.
Une seconde remarque est la suivante : étudier la compacité de la suite
(u n ) n∈I N initiale est équivalent à étudier la compacité de la suite (v n ) n∈I N .
La raison est qu’on peut toujours supposer, par le principe d’Ekeland en choisissant bien ε et δ, que u n − v n H 1 (I R 3 ) ≤
1
n , et donc la convergence d’une
des suites entraîne celle de l’autre (cf. la Remarque 4.5).
Afin de garder des notations génériques, et compte tenu du fait que nous avons
maintenant bien analysé la nuance entre la suite (u n ) n∈I N et la suite (v n ) n∈I N ,
nous allons désormais abandonner la notation (v n ) n∈I N , et supposer directement que (u n ) n∈I N était une suite vérifiant la condition (4.18) dans L
2 (IR
3 )
et la condition (4.19). Appliquons maintenant le lemme de concentrationcompacité à cette suite (u n ) n∈I N . Ceci peut être fait à bon droit puisque la
suite (u n ) n∈I N vérifie par hypothèse
I R 3
u
2
n = λ et donc u
2
n définit à normalisation près une mesure de probabilité sur IR
3 . Quitte à extraire (et nous
gardons alors encore la même notation), la suite (u n ) n∈I N a un des trois types
de comportement énoncés dans le lemme 4.2. Nous allons montrer que seule
la compacité est possible en excluant tour à tour les deux autres cas. Notre
argument va bien sûr utiliser le fait que (u n ) n∈I N n’est pas une suite bornée
quelconque, mais une suite minimisante de (4.1) qui en plus vérifie (4.18) et
(4.19).
4.4.1 L’évanescence est exclue
Pour évacuer le cas d’évanescence, nous n’avons en fait pas besoin d’utiliser
les conditions (4.18) et (4.19). Le fait que u n est une suite minimisante de
(4.1) va suffire.
Nous commençons par remarquer que si l’évanescence a lieu, alors nécessairement I λ ≥ 0. En effet, la condition (4.10) qui s’écrit ici