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4 Un cas difficile : fonctionnelle d’énergie non convexe sur l’espace entier
u n
u
u
n
v
v
n+1
n+1
Fig. 4.1. Même si la fonction est très chahutée au voisinage de son minimum u,
c’est-à-dire même si on n’a pas ∇E(un) −→ 0 pour toute suite (un)n∈I N tendant
vers u, on peut toujours se ramener à une telle situation (suite (vn)n∈I N).
sens fort dans L
p
loc (IR
3 ) pour tout 2 ≤ p < 6. Nous pouvons bâtir à partir de
cette suite (u n ) n∈I N une autre suite minimisante (v n ) n∈I N à l’aide du principe
d’Ekeland. En effet, pour chaque n, le principe d’Ekeland (via une variante
évidente de son corollaire) nous dit alors que comme E est différentiable sur la
variété {w ∈ H
1 (IR
3 ),
I R 3 |w|
2 = λ}, on peut affirmer l’existence de (v n ) n∈I N
minimisant
inf
E(w) +
1
n
− v n H 1 (I R 3 ) , w ∈ H
1 (IR
3 ),
I R 3
|w|
2 = λ
, (4.17)
et donc vérifiant les deux conditions suivantes :
−∆v n −
K
k=1
z k
|x − ¯
x k |
v n +
5
3
|v n |
4/3 v n −
4
3
|v n |
2/3 v n +(v
2
n
1
|x|
)v n +θ n v n −→ 0,
(4.18)
dans H
−1 (IR
3 ), pour une suite θ n ≥ 0, et
I R 3
|∇h|
2
−
I R 3
K
k=1
z k
|x − ¯
x k |
h
2 +
35
9
I R 3
|v n |
4/3 h
2
−
20
9
I R 3
|v n |
2/3 h
2
+
I R 3 ×I R 3
v
2
n (x)h
2 (y)
|x − y|
dx dy + 2
I R 3 ×I R 3
v n (x)h(x)v n (y)h(y)
|x − y|
dx dy
+(θ n + γ n )
I R 3
h
2
≥ 0,
(4.19)
pour une suite γ n −→ 0 et pour toute fonction h ∈ H
1 (IR
3 ) telle que
I R 3
v n h = 0. Les conditions (4.18) et (4.19) sont respectivement les condi-