4.4 La concentration-compacité par l’exemple
105
modifiant un tout petit peu la fonctionnelle, on est assuré de l’existence d’un
minimum. Dans notre logique, et en anticipant un peu sur ce qui va suivre,
il faut comprendre ceci de la manière suivante : certes on ne sait pas écrire
d’équation d’Euler-Lagrange pour notre suite minimisante ni encore moins
pour sa limite, mais en modifiant un peu cette suite on va savoir faire quelque
chose qui sera presque écrire une équation d’Euler-Lagrange (ou plutôt, sans
jeu de mot, écrire une presque équation d’Euler-Lagrange). Ceci nous amène
à un corollaire standard du Théorème ci-dessus, qui va parfaitement illustrer
notre dernier commentaire.
Corollaire 4.4 Si V est un espace de Banach et E une fonctionnelle d’énergie de classe C
1 sur V , minorée, alors il existe une suite minimisante (v n ) n∈I N
de E qui vérifie
E(v n ) −→ inf V E,
∇E(v n ) −→ 0,
dans V
(4.16)
quand n −→ +∞.
La preuve de ce corollaire est directe à partir du Théorème 4.3 : il suffit de
prendre ε = δ
2 =
1
n 2 , et d’utiliser la différentiabilité de E.
Remarque 4.5 La suite (v n ) n∈I N peut être choisie arbitrairement proche
d’une suite (u n ) n∈I N minimisante prise au départ. C’est ce que montre le choix
ci-dessus ε = δ
2 =
1
n 2 .
La suite (v n ) n∈I N dont il est question est une suite minimisante qui vérifie ce
qu’on pourrait appeler une presque équation d’Euler, au sens où on ne peut
pas exiger ∇E(v n ) = 0, mais seulement ∇E(v n ) −→ 0. Une suite (v n ) n∈I N
telle que E(v n ) converge et ∇E(v n ) −→ 0 est appelée suite de Palais-Smale.
Il est très souvent question dans les problèmes variationnels de la condition
dite condition de Palais-Smale qui correspond à la propriété selon laquelle
toute suite de Palais-Smale admet une sous-suite convergente (ce qui peut
créer un minimum d’une fonctionnelle, par exemple). Le corollaire ci-dessus
affirme donc l’existence d’une suite de Palais-Smale minimisante. Mieux, si on
se souvient que c’est une conséquence du Théorème 4.3, on sait même qu’il
existe une suite de Palais-Smale proche de la suite minimisante de départ.
Munis du principe d’Ekeland et du lemme de concentration-compacité, nous
pouvons attaquer la preuve de la compacité du problème (4.1).
4.4 La concentration-compacité par l’exemple
Reprenons (u n ) n∈I N notre suite minimisante arbitraire de (4.1), qui converge
vers u au sens faible dans H
1 (IR
3 ) et dans L
p (IR
3 ) pour tout 2 ≤ p ≤ 6, et au
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modifiant un tout petit peu la fonctionnelle, on est assuré de l’existence d’un
minimum. Dans notre logique, et en anticipant un peu sur ce qui va suivre,
il faut comprendre ceci de la manière suivante : certes on ne sait pas écrire
d’équation d’Euler-Lagrange pour notre suite minimisante ni encore moins
pour sa limite, mais en modifiant un peu cette suite on va savoir faire quelque
chose qui sera presque écrire une équation d’Euler-Lagrange (ou plutôt, sans
jeu de mot, écrire une presque équation d’Euler-Lagrange). Ceci nous amène
à un corollaire standard du Théorème ci-dessus, qui va parfaitement illustrer
notre dernier commentaire.
Corollaire 4.4 Si V est un espace de Banach et E une fonctionnelle d’énergie de classe C
1 sur V , minorée, alors il existe une suite minimisante (v n ) n∈I N
de E qui vérifie
E(v n ) −→ inf V E,
∇E(v n ) −→ 0,
dans V
(4.16)
quand n −→ +∞.
La preuve de ce corollaire est directe à partir du Théorème 4.3 : il suffit de
prendre ε = δ
2 =
1
n 2 , et d’utiliser la différentiabilité de E.
Remarque 4.5 La suite (v n ) n∈I N peut être choisie arbitrairement proche
d’une suite (u n ) n∈I N minimisante prise au départ. C’est ce que montre le choix
ci-dessus ε = δ
2 =
1
n 2 .
La suite (v n ) n∈I N dont il est question est une suite minimisante qui vérifie ce
qu’on pourrait appeler une presque équation d’Euler, au sens où on ne peut
pas exiger ∇E(v n ) = 0, mais seulement ∇E(v n ) −→ 0. Une suite (v n ) n∈I N
telle que E(v n ) converge et ∇E(v n ) −→ 0 est appelée suite de Palais-Smale.
Il est très souvent question dans les problèmes variationnels de la condition
dite condition de Palais-Smale qui correspond à la propriété selon laquelle
toute suite de Palais-Smale admet une sous-suite convergente (ce qui peut
créer un minimum d’une fonctionnelle, par exemple). Le corollaire ci-dessus
affirme donc l’existence d’une suite de Palais-Smale minimisante. Mieux, si on
se souvient que c’est une conséquence du Théorème 4.3, on sait même qu’il
existe une suite de Palais-Smale proche de la suite minimisante de départ.
Munis du principe d’Ekeland et du lemme de concentration-compacité, nous
pouvons attaquer la preuve de la compacité du problème (4.1).
4.4 La concentration-compacité par l’exemple
Reprenons (u n ) n∈I N notre suite minimisante arbitraire de (4.1), qui converge
vers u au sens faible dans H
1 (IR
3 ) et dans L
p (IR
3 ) pour tout 2 ≤ p ≤ 6, et au