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4 Un cas difficile : fonctionnelle d’énergie non convexe sur l’espace entier
4ème commentaire : En fait, il y a un lien étroit entre la méthode de
concentration-compacité et la notion d’invariance. Ainsi, dans la situation
la meilleure, c’est-à-dire dans le premier alinéa du Lemme ci-dessus, on ne
peut pas espérer mieux a priori que la compacité à une translation près. Dans
le langage courant, on dirait que quitte à changer (constamment) l’origine
de l’espace IR
N , qui est invariant par translation, tout se passe maintenant
comme si on était sur une boule centrée à l’origine.
Avant d’appliquer cette analyse à la suite minimisante du problème (4.1),
nous devons encore particulariser un peu la sous-suite, car tel quel nous ne
pourrions pas décider si seul le comportement de compacité est possible et
conclure. La façon dont nous allons particulariser la suite minimisante repose
sur une technique que nous n’avons pas encore introduite.
4.3 Le principe d’Ekeland
Nous énonçons ce principe sous une forme simple.
Théorème 4.3 (Principe d’Ekeland) Soit M un espace métrique complet dont on note d la distance, soit E une application sur M à valeurs dans
IR ∪{+∞} qu’on suppose semi-continue inférieurement, minorée, et non identiquement égale à +∞. Alors pour tout ε > 0, δ > 0, et tout u ∈ M tel que
E(u) ≤ inf
M
E + ε,
(4.13)
il existe un point v ∈ M qui minimise strictement la fonctionnelle
w → E(w) +
ε
δ
d(u, w).
(4.14)
De plus, ce point vérifie
E(v) ≤ E(u),
d(u, v) ≤ δ.
(4.15)
Une façon d’interpréter ce résultat (avec l’arrière pensée de l’utiliser dans
notre étude) est de dire ce qui suit. Une suite minimisante d’un problème
étant donnée, on peut trouver une autre suite minimisante du même problème, construite à chaque pas par minimisation d’une fonctionnelle d’énergie
différant peu de la fonctionnelle d’énergie initiale, et aussi proche que voulu
(dans une certaine mesure) de la suite minimisante initiale. On dit “dans une
certaine mesure” car on lit dans le Théorème ci-dessus que si l’on exige que
la fonctionnelle d’énergie diffère de l’ordre de
ε
δ dans (4.14) (on peut jouer
avec ε et δ pour gagner d’un côté si on perd de l’autre), on ne peut pas exiger
mieux comme proximité que l’ordre δ (dans (4.15)).
Une autre façon de voir ce résultat est de dire que si on n’est certes pas sûr
que le minimum de la fonctionnelle initiale est atteint, on sait au moins qu’en
4 Un cas difficile : fonctionnelle d’énergie non convexe sur l’espace entier
4ème commentaire : En fait, il y a un lien étroit entre la méthode de
concentration-compacité et la notion d’invariance. Ainsi, dans la situation
la meilleure, c’est-à-dire dans le premier alinéa du Lemme ci-dessus, on ne
peut pas espérer mieux a priori que la compacité à une translation près. Dans
le langage courant, on dirait que quitte à changer (constamment) l’origine
de l’espace IR
N , qui est invariant par translation, tout se passe maintenant
comme si on était sur une boule centrée à l’origine.
Avant d’appliquer cette analyse à la suite minimisante du problème (4.1),
nous devons encore particulariser un peu la sous-suite, car tel quel nous ne
pourrions pas décider si seul le comportement de compacité est possible et
conclure. La façon dont nous allons particulariser la suite minimisante repose
sur une technique que nous n’avons pas encore introduite.
4.3 Le principe d’Ekeland
Nous énonçons ce principe sous une forme simple.
Théorème 4.3 (Principe d’Ekeland) Soit M un espace métrique complet dont on note d la distance, soit E une application sur M à valeurs dans
IR ∪{+∞} qu’on suppose semi-continue inférieurement, minorée, et non identiquement égale à +∞. Alors pour tout ε > 0, δ > 0, et tout u ∈ M tel que
E(u) ≤ inf
M
E + ε,
(4.13)
il existe un point v ∈ M qui minimise strictement la fonctionnelle
w → E(w) +
ε
δ
d(u, w).
(4.14)
De plus, ce point vérifie
E(v) ≤ E(u),
d(u, v) ≤ δ.
(4.15)
Une façon d’interpréter ce résultat (avec l’arrière pensée de l’utiliser dans
notre étude) est de dire ce qui suit. Une suite minimisante d’un problème
étant donnée, on peut trouver une autre suite minimisante du même problème, construite à chaque pas par minimisation d’une fonctionnelle d’énergie
différant peu de la fonctionnelle d’énergie initiale, et aussi proche que voulu
(dans une certaine mesure) de la suite minimisante initiale. On dit “dans une
certaine mesure” car on lit dans le Théorème ci-dessus que si l’on exige que
la fonctionnelle d’énergie diffère de l’ordre de
ε
δ dans (4.14) (on peut jouer
avec ε et δ pour gagner d’un côté si on perd de l’autre), on ne peut pas exiger
mieux comme proximité que l’ordre δ (dans (4.15)).
Une autre façon de voir ce résultat est de dire que si on n’est certes pas sûr
que le minimum de la fonctionnelle initiale est atteint, on sait au moins qu’en