4.2 Le lemme de concentration-compacité
103
2. (Evanescence) Pour tout R > 0, on a
lim
n−→+∞
sup
x∈I R N
BR(x)
dµ n = 0,
(4.10)
3. (Dichotomie) Il existe un réel α, 0 < α < 1, tel que pour tout ε > 0 et
pour tout rayon R 0 > 0, il existe une suite (x n ) n∈I N dans IR
N et une suite
de rayons (R n ) n∈I N , lim
n→∞
R n = +∞, avec R 1 ≥ R 0 , tel que
lim sup
n−→+∞
α −
BR 1 (xn)
dµ n
+
(1 − α) −
BR n (xn) c
dµ n
≤ ε.
(4.11)
Ce lemme appelle plusieurs commentaires.
1er commentaire : Grossièrement dit, les possibilités sont les suivantes :
1. la suite reste localisée sur un compact qui peut éventuellement s’en aller
à l’infini, c’est la situation de compacité (noter que cela ne veut pas dire
que la suite est compacte au sens habituel même si on translate ; il reste
à savoir ce qui va se passer sur un borné : pour notre cas d’une suite
minimisante d’un problème localement compact, ce sera “compact” au
sens habituel) ;
2. la suite se disperse partout dans l’espace, ou plus trivialement elle s’écrase
partout : c’est la situation d’évanescence ;
3. la suite se fractionne en un bout à distance finie (éventuellement modulo
une translation), qui lui est “compact”, et un autre bout qui s’en va à
l’infini, lequel bout peut être soumis à la même analyse que la suite initiale,
c’est-à-dire peut rester “compact” à une translation près, ou s’écraser, ou
lui-même se recasser en morceaux, dont certains peuvent s’écraser, etc...,
c’est la situation de dichotomie.
2ème commentaire : Nous ne donnerons pas la démonstration de ce lemme,
qui pourtant n’est pas difficile et repose sur l’introduction d’une fonction, dite
fonction de concentration de Lévy associée à une mesure, à savoir
Q(r) = sup
x∈I R N
Br(x)
dµ.
(4.12)
Il se trouve que sous les conditions vérifiées par la suite (µ n ) n∈I N , la suite
(Q n ) n∈I N (définie par (4.12) à partir de µ n pour chaque n) est une suite
localement bornée dans l’espace des fonctions à variation bornée, et donc
converge à extraction près, presque partout en r, vers une fonction Q ∞ (r). On
pose alors α = lim r−→+∞ Q ∞ (r). Il est clair que 0 ≤ α ≤ 1 et les différentes
valeurs de α (α = 0, 0 < α < 1, α = 1) indiquent l’un des trois comportements.
3ème commentaire : Il s’agit de bien noter que la classification en trois comportements concerne (au moins) une sous-suite de la suite initiale, et non pas
toute la suite elle-même.
103
2. (Evanescence) Pour tout R > 0, on a
lim
n−→+∞
sup
x∈I R N
BR(x)
dµ n = 0,
(4.10)
3. (Dichotomie) Il existe un réel α, 0 < α < 1, tel que pour tout ε > 0 et
pour tout rayon R 0 > 0, il existe une suite (x n ) n∈I N dans IR
N et une suite
de rayons (R n ) n∈I N , lim
n→∞
R n = +∞, avec R 1 ≥ R 0 , tel que
lim sup
n−→+∞
α −
BR 1 (xn)
dµ n
+
(1 − α) −
BR n (xn) c
dµ n
≤ ε.
(4.11)
Ce lemme appelle plusieurs commentaires.
1er commentaire : Grossièrement dit, les possibilités sont les suivantes :
1. la suite reste localisée sur un compact qui peut éventuellement s’en aller
à l’infini, c’est la situation de compacité (noter que cela ne veut pas dire
que la suite est compacte au sens habituel même si on translate ; il reste
à savoir ce qui va se passer sur un borné : pour notre cas d’une suite
minimisante d’un problème localement compact, ce sera “compact” au
sens habituel) ;
2. la suite se disperse partout dans l’espace, ou plus trivialement elle s’écrase
partout : c’est la situation d’évanescence ;
3. la suite se fractionne en un bout à distance finie (éventuellement modulo
une translation), qui lui est “compact”, et un autre bout qui s’en va à
l’infini, lequel bout peut être soumis à la même analyse que la suite initiale,
c’est-à-dire peut rester “compact” à une translation près, ou s’écraser, ou
lui-même se recasser en morceaux, dont certains peuvent s’écraser, etc...,
c’est la situation de dichotomie.
2ème commentaire : Nous ne donnerons pas la démonstration de ce lemme,
qui pourtant n’est pas difficile et repose sur l’introduction d’une fonction, dite
fonction de concentration de Lévy associée à une mesure, à savoir
Q(r) = sup
x∈I R N
Br(x)
dµ.
(4.12)
Il se trouve que sous les conditions vérifiées par la suite (µ n ) n∈I N , la suite
(Q n ) n∈I N (définie par (4.12) à partir de µ n pour chaque n) est une suite
localement bornée dans l’espace des fonctions à variation bornée, et donc
converge à extraction près, presque partout en r, vers une fonction Q ∞ (r). On
pose alors α = lim r−→+∞ Q ∞ (r). Il est clair que 0 ≤ α ≤ 1 et les différentes
valeurs de α (α = 0, 0 < α < 1, α = 1) indiquent l’un des trois comportements.
3ème commentaire : Il s’agit de bien noter que la classification en trois comportements concerne (au moins) une sous-suite de la suite initiale, et non pas
toute la suite elle-même.