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4 Un cas difficile : fonctionnelle d’énergie non convexe sur l’espace entier
Remarque 4.1 En fait, on pourrait remarquer qu’une possibilité serait pour
traiter le terme (4.7) d’essayer de faire comme pour les termes du type
I R 3
|u n |
2
|x|
. Il s’agirait d’utiliser le fait que |u n |
8/3 = |u n |
2
|u n |
2/3 avec |u n |
2/3
qui tend vers 0 à l’infini, en un sens faible au moins. En fait, ceci est impossible, sauf à avoir une majoration uniforme en n soit de u n (x) pour |x| grand
(dans l’esprit de la convergence dominée), soit du reste intégral
|x|≥R
|u n |
8/3
pour R grand. C’est précisément une information sur un tel reste intégral que
nous allons chercher à obtenir maintenant.
La stratégie à développer est donc nouvelle.
4.2 Le lemme de concentration-compacité
De manière globale, la méthode de concentration-compacité vise à classifier les
comportements possibles d’une suite de fonctions sous de très faibles hypothèses exprimant que la suite de fonctions est bornée en un certain sens.
Dans la situation particulière où la suite étudiée est une suite minimisante
d’un problème variationnel, on regarde ensuite ce qu’entraînent les différents
comportements possibles de cette suite sur les valeurs des infima d’une famille
de problèmes de minimisation issue du problème initial (cf. les inégalités de
sous-additivité que nous avons introduites au Chapitre 3 et que nous reverrons
ci-dessous).
La méthode de concentration-compacité a essentiellement deux volets. Le premier concerne les suites de mesures de probabilité, c’est-à-dire les suites de
mesures positives ou nulles de masse totale égale à 1. Le second concerne les
suites de fonctions bornées dans W
k,p (k ≥ 0, p > 1, kp < 3 en dimension 3).
Ici, nous ne nous intéresserons qu’au premier volet. Le lemme que nous allons
donc énoncer sous l’appellation de Lemme de concentration-compacité est en
fait connu sous le nom de Lemme de concentration-compacité I, pour faire
référence à cette classification en deux volets.
Lemme 4.2 (dit de concentration-compacité) Soit (µ n ) n∈I N une suite
de mesures de probabilité sur IR
N : µ n ≥ 0,
I R N
dµ n = 1. Alors il existe
une sous-suite de (µ n ) n∈I N , encore notée (µ n ) n∈I N , telle que l’une des trois
conditions suivantes est vraie :
1. (Compacité) Il existe une suite (x n ) n∈I N de IR
N , telle que pour tout ε > 0
il existe un rayon R > 0 tel que, pour tout n,
BR(xn)
dµ n ≥ 1 − ε,
(4.9)
4 Un cas difficile : fonctionnelle d’énergie non convexe sur l’espace entier
Remarque 4.1 En fait, on pourrait remarquer qu’une possibilité serait pour
traiter le terme (4.7) d’essayer de faire comme pour les termes du type
I R 3
|u n |
2
|x|
. Il s’agirait d’utiliser le fait que |u n |
8/3 = |u n |
2
|u n |
2/3 avec |u n |
2/3
qui tend vers 0 à l’infini, en un sens faible au moins. En fait, ceci est impossible, sauf à avoir une majoration uniforme en n soit de u n (x) pour |x| grand
(dans l’esprit de la convergence dominée), soit du reste intégral
|x|≥R
|u n |
8/3
pour R grand. C’est précisément une information sur un tel reste intégral que
nous allons chercher à obtenir maintenant.
La stratégie à développer est donc nouvelle.
4.2 Le lemme de concentration-compacité
De manière globale, la méthode de concentration-compacité vise à classifier les
comportements possibles d’une suite de fonctions sous de très faibles hypothèses exprimant que la suite de fonctions est bornée en un certain sens.
Dans la situation particulière où la suite étudiée est une suite minimisante
d’un problème variationnel, on regarde ensuite ce qu’entraînent les différents
comportements possibles de cette suite sur les valeurs des infima d’une famille
de problèmes de minimisation issue du problème initial (cf. les inégalités de
sous-additivité que nous avons introduites au Chapitre 3 et que nous reverrons
ci-dessous).
La méthode de concentration-compacité a essentiellement deux volets. Le premier concerne les suites de mesures de probabilité, c’est-à-dire les suites de
mesures positives ou nulles de masse totale égale à 1. Le second concerne les
suites de fonctions bornées dans W
k,p (k ≥ 0, p > 1, kp < 3 en dimension 3).
Ici, nous ne nous intéresserons qu’au premier volet. Le lemme que nous allons
donc énoncer sous l’appellation de Lemme de concentration-compacité est en
fait connu sous le nom de Lemme de concentration-compacité I, pour faire
référence à cette classification en deux volets.
Lemme 4.2 (dit de concentration-compacité) Soit (µ n ) n∈I N une suite
de mesures de probabilité sur IR
N : µ n ≥ 0,
I R N
dµ n = 1. Alors il existe
une sous-suite de (µ n ) n∈I N , encore notée (µ n ) n∈I N , telle que l’une des trois
conditions suivantes est vraie :
1. (Compacité) Il existe une suite (x n ) n∈I N de IR
N , telle que pour tout ε > 0
il existe un rayon R > 0 tel que, pour tout n,
BR(xn)
dµ n ≥ 1 − ε,
(4.9)