4.1 Préliminaires
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méthodes qu’au Chapitre 2. L’existence serait acquise aussi facilement que
dans le modèle TFW. Ceci est une preuve supplémentaire que quand on a
un domaine borné, le caractère convexe ou non joue un rôle secondaire pour
l’existence d’un minimum. La seule différence liée à l’absence de convexité dans
le cas borné est que l’unicité devient difficile. La différence entre les techniques
du Chapitre 3 et celles exposées dans ce chapitre montrera qu’au contraire,
dans le cas non borné, la convexité fait défaut dès la preuve d’existence.
Attaquons le problème (4.1)-(4.2). Le fait que le problème soit bien posé et en
particulier que ses suites minimisantes soient bornées dans H
1 (IR
3 ) se montre
comme pour le modèle de TFW, le terme de Dirac se traitant par l’inégalité
d’interpolation, en écrivant par exemple
I R 3
|u|
8/3
≤ ≤u L 2
I R 3
|u|
10/3
1/2
.
(4.5)
Quitte à extraire, on peut donc supposer une suite minimisante arbitraire
(u n ) n∈I N convergente vers u au sens faible dans H
1 (IR
3 ) et dans L
p (IR
3 ) pour
tout 2 ≤ p ≤ 6, et au sens fort dans L
p
loc (IR
3 ) pour tout 2 ≤ p < 6.
Comme au chapitre 3, on en déduit que
I R 3
u
2
≤ λ et
I R 3
|∇u|
2
−
I R 3
K
k=1
z k
|x − ¯
x k |
u
2 +
I R 3
|u|
10/3
+
1
2
I R 3 ×I R 3
u
2 (x)u
2 (y)
|x − y|
dx dy
≤ lim inf
n→+∞
I R 3
|∇u n |
2
−
I R 3
K
k=1
z k
|x − ¯
x k |
u
2
n +
I R 3
|u|
10/3
+
1
2
I R 3 ×I R 3
u
2
n (x)u
2
n (y)
|x − y|
dx dy.(4.6)
On sait aussi
I R 3
|u|
8/3
≤ lim inf
n→+∞
I R 3
|u n |
8/3 ,
(4.7)
mais (4.6) et (4.7) ensemble ne suffisent pas pour montrer
E(u) ≤ lim inf
n→+∞
E(u n ),
(4.8)
et donc en déduire que u est un minimum du problème à contrainte relâchée
issu de (4.1) (on montrera en effet facilement que la preuve faite au Chapitre 3
de ˜
I λ = I λ est encore valable ici).