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4 Un cas difficile : fonctionnelle d’énergie non convexe sur l’espace entier
La première modification faite dans (4.1)-(4.2) à partir de (3.1)-(3.2) est que
l’on regarde directement le cas moléculaire (à plusieurs noyaux) au lieu de
se consacrer au cas atomique. Le lecteur a bien compris désormais que les
techniques générales qui nous intéressent permettent de traiter aussi bien un
cas que l’autre, les modifications étant mineures.
A part cette petite modification, la modification essentielle est l’adjonction du
terme de correction dit de Dirac −
I R 3 |u|
8/3 qui, d’un point de vue chimique
est supposé modéliser une partie de la corrélation entre les électrons. Nous
avons vu ceci au Chapitre 1 sous l’angle de la physique. D’un point de vue
mathématique, la complication capitale qui vient de la présence de ce terme
est que le modèle en ρ, à savoir
I λ = inf
E(ρ), ρ ≥ 0,
√ ρ ∈ H
1
IR
3
,
I R 3
ρ = λ
,
(4.3)
E(ρ) =
I R 3
|∇
√ ρ|
2
−
I R 3
K
k=1
z k
|x − ¯
x k |
ρ +
I R 3
ρ
5/3
−
I R 3
ρ
4/3
+
1
2
I R 3 ×I R 3
ρ(x)ρ(y)
|x − y|
dx dy,
(4.4)
n’a plus une fonctionnelle d’énergie convexe !
Ceci va avoir des conséquences graves. En effet, on a vu aux chapitres précédents que la convexité permettait de s’en sortir avec la convergence faible
à moindres frais, la raison essentielle étant le Théorème 2.20. L’idée était en
gros de remarquer que quand on a de la convexité quelque part, la convergence faible suffit le plus souvent là où on aurait attendu de la convergence
forte (une manifestation explicite de cette idée un peu vague est le résultat
de l’Exercice 2.7). Soyons plus précis encore. Ce qui a joué un rôle crucial
jusqu’ici, c’est qu’on puisse écrire E(v) ≤ lim inf E(v n ) quand v est la
limite faible d’une suite minimisante (v n ) n∈I N . Ceci est possible en particulier
quand la fonctionnelle d’énergie est faiblement semi-continue inférieurement.
Or, conformément au Théorème 2.20, le prototype d’une fonction faiblement
semi-continue inférieurement est une fonction convexe continue pour la topologie forte (ce n’est pas le seul cas, et on exhibera au Chapitre 5 un cas où
la fonctionnelle bien que non convexe est faiblement semi-continue inférieurement). Ceci explique que, dès que la fonctionnelle est non convexe, on s’attend
généralement à des difficultés pour prouver l’existence d’un minimum (quant
à son unicité, n’en parlons pas !). Ceci explique aussi l’imprécision du titre de
ce chapitre : nous aurions dû dire en toute rigueur “fonctionnelle d’énergie non
faiblement semi-continue inférieurement sur l’espace entier” (un titre un peu
lourd, on en conviendra...). Quoi qu’il en soit, il faut donc faire ici autrement
qu’au Chapitre 3.
Avant d’attaquer l’étude de (4.1)-(4.2), faisons une remarque : si le problème
était posé sur un ouvert borné, il serait traitable exactement par les mêmes
4 Un cas difficile : fonctionnelle d’énergie non convexe sur l’espace entier
La première modification faite dans (4.1)-(4.2) à partir de (3.1)-(3.2) est que
l’on regarde directement le cas moléculaire (à plusieurs noyaux) au lieu de
se consacrer au cas atomique. Le lecteur a bien compris désormais que les
techniques générales qui nous intéressent permettent de traiter aussi bien un
cas que l’autre, les modifications étant mineures.
A part cette petite modification, la modification essentielle est l’adjonction du
terme de correction dit de Dirac −
I R 3 |u|
8/3 qui, d’un point de vue chimique
est supposé modéliser une partie de la corrélation entre les électrons. Nous
avons vu ceci au Chapitre 1 sous l’angle de la physique. D’un point de vue
mathématique, la complication capitale qui vient de la présence de ce terme
est que le modèle en ρ, à savoir
I λ = inf
E(ρ), ρ ≥ 0,
√ ρ ∈ H
1
IR
3
,
I R 3
ρ = λ
,
(4.3)
E(ρ) =
I R 3
|∇
√ ρ|
2
−
I R 3
K
k=1
z k
|x − ¯
x k |
ρ +
I R 3
ρ
5/3
−
I R 3
ρ
4/3
+
1
2
I R 3 ×I R 3
ρ(x)ρ(y)
|x − y|
dx dy,
(4.4)
n’a plus une fonctionnelle d’énergie convexe !
Ceci va avoir des conséquences graves. En effet, on a vu aux chapitres précédents que la convexité permettait de s’en sortir avec la convergence faible
à moindres frais, la raison essentielle étant le Théorème 2.20. L’idée était en
gros de remarquer que quand on a de la convexité quelque part, la convergence faible suffit le plus souvent là où on aurait attendu de la convergence
forte (une manifestation explicite de cette idée un peu vague est le résultat
de l’Exercice 2.7). Soyons plus précis encore. Ce qui a joué un rôle crucial
jusqu’ici, c’est qu’on puisse écrire E(v) ≤ lim inf E(v n ) quand v est la
limite faible d’une suite minimisante (v n ) n∈I N . Ceci est possible en particulier
quand la fonctionnelle d’énergie est faiblement semi-continue inférieurement.
Or, conformément au Théorème 2.20, le prototype d’une fonction faiblement
semi-continue inférieurement est une fonction convexe continue pour la topologie forte (ce n’est pas le seul cas, et on exhibera au Chapitre 5 un cas où
la fonctionnelle bien que non convexe est faiblement semi-continue inférieurement). Ceci explique que, dès que la fonctionnelle est non convexe, on s’attend
généralement à des difficultés pour prouver l’existence d’un minimum (quant
à son unicité, n’en parlons pas !). Ceci explique aussi l’imprécision du titre de
ce chapitre : nous aurions dû dire en toute rigueur “fonctionnelle d’énergie non
faiblement semi-continue inférieurement sur l’espace entier” (un titre un peu
lourd, on en conviendra...). Quoi qu’il en soit, il faut donc faire ici autrement
qu’au Chapitre 3.
Avant d’attaquer l’étude de (4.1)-(4.2), faisons une remarque : si le problème
était posé sur un ouvert borné, il serait traitable exactement par les mêmes