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Un cas difficile : fonctionnelle d’énergie
non convexe sur l’espace entier
Nous attaquons ici un problème de minimisation pour lequel nous allons aboutir à l’impasse suivante. Une suite minimisante arbitraire est bien bornée, on
peut donc en extraire une sous-suite faiblement convergente. Mais, si l’on peut
encore prouver que le problème est égal au problème à contrainte relâchée,
on ne peut pas montrer a priori que la limite faible d’une suite minimisante
du premier minimise le second, car on manque d’information pour traiter
certains termes de la fonctionnelle d’énergie. Raison : la fonctionnelle d’énergie a un terme non convexe, ce qui se manifeste plus précisément par le fait
qu’elle n’est plus faiblement semi-continue inférieurement. Conséquence : on
ne peut pas écrire d’EDP sur la limite faible et raisonner dessus. Il faut donc
trouver une autre stratégie. Cette stratégie consiste à envisager le pire : si la
suite minimisante ne converge pas, que lui arrive-t-il ? C’est la méthode de
concentration-compacité qui va nous le dire. Le modèle de Chimie que nous
choisissons comme support de cette étude est une amélioration du modèle de
Thomas-Fermi-von Weizsäcker traité au chapitre précédent, à savoir le modèle
de Thomas-Fermi-Dirac-von Weizsäcker.
4.1 Préliminaires
On modifie le problème (3.1)-(3.2) traité au Chapitre 3 pour obtenir le modèle
de Thomas-Fermi-Dirac-von Weizsäcker sur IR
3 :
I λ = inf
E(u), u ∈ H
1
IR
3
,
I R 3
|u|
2 = λ
,
(4.1)
E(u) =
I R 3
|∇u|
2
−
I R 3
K
k=1
z k
|x − ¯
x k |
u
2 +
I R 3
|u|
10/3
−
I R 3
|u|
8/3
+
1
2
I R 3 ×I R 3
u
2 (x)u
2 (y)
|x − y|
dx dy.
(4.2)