4.4 La concentration-compacité par l’exemple
111
Remarque 4.6 La propriété (4.36) est la vraie différence entre le Chapitre 3
et le Chapitre 4.
La preuve de (4.36) est dans le même esprit que des preuves déjà faites. On
fixe une fonction u de classe C
∞ , à support compact telle que
I R 3
u
2 = 1, et
on pose, pour σ > 0, u σ = σ
2 u(σ·). Il est facile de voir que
E
∞ (u σ ) = σ
3
I R 3
|∇u|
2 + σ
11/3
I R 3
|u|
10/3
− σ
7/3
I R 3
|u|
8/3
+
1
2
σ
3
I R 3 ×I R 3
u
2 (x)u
2 (y)
|x − y|
dx dy,
(4.37)
et donc que E
∞ (u σ ) < 0 pour σ > 0 petit. Comme
I R 3
u
2
σ = σ cela montre
I
∞
σ < 0 pour σ aussi petit que voulu, et donc (4.36) puisque, comme d’habitude en rajoutant de la masse à l’infini, I
∞
λ est une fonction décroissante de
λ.
2ème Commentaire : Si on ne poursuit pas le but de montrer l’existence d’un
minimum pour (4.1), mais si on veut seulement prouver l’existence d’une
solution non triviale à l’EDP associée au problème (4.1), à savoir
−∆u −
K
k=1
z k
|x − ¯
x k |
u +
5
3
|u|
4/3 u −
4
3
|u|
2/3 u +
u
2
1
|x|
u + θu = 0,
on peut s’arrêter là. En effet, on a montré que l’on peut toujours supposer
que le bout (u 1,n ) n∈I N reste à distance finie, et qu’il ne peut pas s’évanouir
(sinon I λ = I
∞
λ , ce qu’on a montré être faux au début de cette sous-section).
Cette suite (u 1,n ) n∈I N est donc “compacte”, on est ramené au cas d’un borné, et
comme le problème qu’on étudie est localement compact, il est aisé de voir que
cette suite est donc compacte au sens habituel. Sa limite u 1 est un minimum
de I
I R 3
u 2
1
et vérifie l’équation d’Euler-Lagrange associée. On a ainsi obtenu
une solution non triviale de l’EDP. Bien sûr, si la dichotomie ne se produit
pas, alors comme l’évanescence est d’ores et déjà exclue, on a la “compacité”
et on conclut de la même façon. On notera qu’on n’utilise donc pas le fait
que la suite minimisante initiale est une suite issue du principe d’Ekeland. En
résumé, si le problème n’est pas invariant par translation, il suffit, pour avoir
une solution de l’EDP, de prouver I λ < I
∞
λ < 0.
3ème Commentaire : A part montrer que (4.30) est mieux que I λ ≤ I α si λ ≥
α, (4.36) montre aussi la propriété suivante de la suite (u 2,n ) n∈I N : (u 2,n ) n∈I N ,
ni aucun bout de (u 2,n ) n∈I N ne peut s’évanouir. En effet, en vertu de (4.34),
si (u 2,n ) n∈I N s’évanouissait, on aurait I
∞
λ−α ≥ 0, ce qui contredit (4.36). On
raisonnerait de même sur un bout de (u 2,n ) n∈I N . Il en résulte que (u 2,n ) n∈I N
est “compacte” au sens du lemme 4.2, ou se casse en bouts “compacts”.
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Remarque 4.6 La propriété (4.36) est la vraie différence entre le Chapitre 3
et le Chapitre 4.
La preuve de (4.36) est dans le même esprit que des preuves déjà faites. On
fixe une fonction u de classe C
∞ , à support compact telle que
I R 3
u
2 = 1, et
on pose, pour σ > 0, u σ = σ
2 u(σ·). Il est facile de voir que
E
∞ (u σ ) = σ
3
I R 3
|∇u|
2 + σ
11/3
I R 3
|u|
10/3
− σ
7/3
I R 3
|u|
8/3
+
1
2
σ
3
I R 3 ×I R 3
u
2 (x)u
2 (y)
|x − y|
dx dy,
(4.37)
et donc que E
∞ (u σ ) < 0 pour σ > 0 petit. Comme
I R 3
u
2
σ = σ cela montre
I
∞
σ < 0 pour σ aussi petit que voulu, et donc (4.36) puisque, comme d’habitude en rajoutant de la masse à l’infini, I
∞
λ est une fonction décroissante de
λ.
2ème Commentaire : Si on ne poursuit pas le but de montrer l’existence d’un
minimum pour (4.1), mais si on veut seulement prouver l’existence d’une
solution non triviale à l’EDP associée au problème (4.1), à savoir
−∆u −
K
k=1
z k
|x − ¯
x k |
u +
5
3
|u|
4/3 u −
4
3
|u|
2/3 u +
u
2
1
|x|
u + θu = 0,
on peut s’arrêter là. En effet, on a montré que l’on peut toujours supposer
que le bout (u 1,n ) n∈I N reste à distance finie, et qu’il ne peut pas s’évanouir
(sinon I λ = I
∞
λ , ce qu’on a montré être faux au début de cette sous-section).
Cette suite (u 1,n ) n∈I N est donc “compacte”, on est ramené au cas d’un borné, et
comme le problème qu’on étudie est localement compact, il est aisé de voir que
cette suite est donc compacte au sens habituel. Sa limite u 1 est un minimum
de I
I R 3
u 2
1
et vérifie l’équation d’Euler-Lagrange associée. On a ainsi obtenu
une solution non triviale de l’EDP. Bien sûr, si la dichotomie ne se produit
pas, alors comme l’évanescence est d’ores et déjà exclue, on a la “compacité”
et on conclut de la même façon. On notera qu’on n’utilise donc pas le fait
que la suite minimisante initiale est une suite issue du principe d’Ekeland. En
résumé, si le problème n’est pas invariant par translation, il suffit, pour avoir
une solution de l’EDP, de prouver I λ < I
∞
λ < 0.
3ème Commentaire : A part montrer que (4.30) est mieux que I λ ≤ I α si λ ≥
α, (4.36) montre aussi la propriété suivante de la suite (u 2,n ) n∈I N : (u 2,n ) n∈I N ,
ni aucun bout de (u 2,n ) n∈I N ne peut s’évanouir. En effet, en vertu de (4.34),
si (u 2,n ) n∈I N s’évanouissait, on aurait I
∞
λ−α ≥ 0, ce qui contredit (4.36). On
raisonnerait de même sur un bout de (u 2,n ) n∈I N . Il en résulte que (u 2,n ) n∈I N
est “compacte” au sens du lemme 4.2, ou se casse en bouts “compacts”.