96
3 Le même problème sur l’espace tout entier
ce qui devrait l’aider à attaquer ces lectures plus substantielles, et d’autres
que nous indiquerons alors.
3.9 Exercices
Exercice 3.1 Montrer que pour λ ≤ Z l’infimum défini par (2.2) avec pour
domaine Ω la boule de rayon R centrée à l’origine converge, quand R tend vers
+∞, vers l’infimum de (3.1). Montrer (c’est bien plus dur, et il y a plusieurs
façons de s’y prendre) que le minimum positif de (2.2), que l’on notera u R ,
tend vers le minimum positif u de (3.1).
Exercice 3.2 Soit u > 0 appartenant à H
1 (IR
3 ) vérifiant
I R 3
u
2 > 1 et
−∆u −
1
|x|
u + (u
2
1
|x|
)u ≤ 0.
Montrer, en appliquant le principe du maximum faible (voir au besoin le
Lemme 10.5 au Chapitre 10), que, pour tout µ <
I R 3 u
2
− 1, il existe une
constante M telle que
0 ≤ u(x) ≤ M exp
−2
√ µ
|x|
.
On pourra utiliser (en le prouvant !) le fait que pour toute constante C <
I R 3 u
2 , on a, quitte à choisir |x| assez grand, u
2
1
|x| ≥
C
|x| .
Exercice 3.3 Soit V un potentiel dans L
3−ε (IR
3 ) + L
3+ε (IR
3 ) pour une certaine constante ε > 0. Donner une condition suffisante sur p et q pour que, si
la suite (u n ) n∈I N converge fortement dans L
p (IR
3 ) ∩ L
q (IR
3 ) vers u, alors
lim
n→+∞
1
2
I R 3 ×I R 3
(u
2
n (x)u
2
n (y)) V (x − y) dx dy
=
1
2
I R 3 ×I R 3
(u
2 (x)u
2 (y)) V (x − y) dx dy.
Exercice 3.4 On introduit l’espace dit de Marcinkiewitz suivant
L
3,∞ (IR
3 ) =
u ∈ L
1
loc (IR
3 ), sup
t>0
t
3 mes
x ∈ IR
3 , |u(x)| ≥ t
< +∞
.
(3.81)
Les inégalités de Hölder et de Young sont encore vérifiées pour cet espace au
sens où ce qui est vrai pour L
3 (IR
3 ) est vrai à l’identique pour L
3,∞ (IR
3 ).
3 Le même problème sur l’espace tout entier
ce qui devrait l’aider à attaquer ces lectures plus substantielles, et d’autres
que nous indiquerons alors.
3.9 Exercices
Exercice 3.1 Montrer que pour λ ≤ Z l’infimum défini par (2.2) avec pour
domaine Ω la boule de rayon R centrée à l’origine converge, quand R tend vers
+∞, vers l’infimum de (3.1). Montrer (c’est bien plus dur, et il y a plusieurs
façons de s’y prendre) que le minimum positif de (2.2), que l’on notera u R ,
tend vers le minimum positif u de (3.1).
Exercice 3.2 Soit u > 0 appartenant à H
1 (IR
3 ) vérifiant
I R 3
u
2 > 1 et
−∆u −
1
|x|
u + (u
2
1
|x|
)u ≤ 0.
Montrer, en appliquant le principe du maximum faible (voir au besoin le
Lemme 10.5 au Chapitre 10), que, pour tout µ <
I R 3 u
2
− 1, il existe une
constante M telle que
0 ≤ u(x) ≤ M exp
−2
√ µ
|x|
.
On pourra utiliser (en le prouvant !) le fait que pour toute constante C <
I R 3 u
2 , on a, quitte à choisir |x| assez grand, u
2
1
|x| ≥
C
|x| .
Exercice 3.3 Soit V un potentiel dans L
3−ε (IR
3 ) + L
3+ε (IR
3 ) pour une certaine constante ε > 0. Donner une condition suffisante sur p et q pour que, si
la suite (u n ) n∈I N converge fortement dans L
p (IR
3 ) ∩ L
q (IR
3 ) vers u, alors
lim
n→+∞
1
2
I R 3 ×I R 3
(u
2
n (x)u
2
n (y)) V (x − y) dx dy
=
1
2
I R 3 ×I R 3
(u
2 (x)u
2 (y)) V (x − y) dx dy.
Exercice 3.4 On introduit l’espace dit de Marcinkiewitz suivant
L
3,∞ (IR
3 ) =
u ∈ L
1
loc (IR
3 ), sup
t>0
t
3 mes
x ∈ IR
3 , |u(x)| ≥ t
< +∞
.
(3.81)
Les inégalités de Hölder et de Young sont encore vérifiées pour cet espace au
sens où ce qui est vrai pour L
3 (IR
3 ) est vrai à l’identique pour L
3,∞ (IR
3 ).