3.8 Pour en savoir plus
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– E. H. Lieb and B. Simon, The Thomas-Fermi theory of atoms, molecules
and solids, Adv. in Math. 23 (1977) 22-116.
Quant au modèle de Thomas-Fermi avec correction de Fermi-Amaldi, son
analyse est présentée dans
– C. Le Bris, On the spin polarized Thomas-Fermi model with the FermiAmaldi correction, Nonlinear Analysis 25 (1995) 669-679.
L’analyse que nous avons brièvement reproduite de l’équation d’Euler-Lagrange est due à
– H. Brézis, Some variational problems of the Thomas-Fermi type, in :
Variational inequalities and complementary problems, theory and applications, edited by Cottle, Giannesi and Lions, Wiley 1980.
Pour les questions spectrales concernant les opérateurs de Schrödinger, on
consultera tout d’abord un ouvrage de référence comme M. Reed and
B. Simon, Methods of modern mathematical physics IV : Analysis of operators, Academic Press 1978.
Puis, seulement après, on pourra se reporter à des études plus précises comme
par exemple
– R. D. Benguria and C. Yarur, Sharp condition on the decay of the potential for the absence of a zero-energy ground state of the Schrödinger
equation, J. Phys. A 23 (1990) 1513-1518,
– B. Simon, Large time behaviour of the L
p norm of Schrödinger semigroups, J. Funct. Anal. 40 (1981) 66-83,
– W. Strauss, Existence of solitary waves in higher dimensions, Comm.
Math. Phys. 55 (1977) 149-162,
– S. Agmon, Lower bounds for solutions of Schrödinger equations, J. Anal.
Math., pp 1-25, 1970,
– T. Kato, Growth properties of solutions of the reduced wave equation
with a variable coefficient, Comm. Pure Appl. Math. 12 (1959) 403-425.
Pour la méthode de concentration-compacité, dont on a commencé à parler
dans ce chapitre, la référence est l’article initial
– P.-L. Lions, The concentration-compactness principle in the calculus of
variations. The locally compact case, part 1 and 2, Ann. Inst. Henri
Poincaré 1 (1984) 109-145 and 223-283,
mais aussi la présentation résumée de P.-L. Lions au Séminaire EDP
(Goulaouic-Meyer-Schwartz) de l’Ecole Polytechnique en 1982-1983 (exposé
XIV, février 1983). Pour l’application aux modèles qui nous intéressent ici, la
référence numéro un est
– P.-L. Lions, Solutions of Hartree-Fock equations for Coulomb systems,
Comm. Math. Phys. 109 (1987) 33-97.
Mais, pour aborder ces trois articles, et notamment le dernier qui est très
dense, nous suggérons au lecteur d’attendre d’avoir étudié le Chapitre 4, où
nous mettons en œuvre explicitement la méthode de concentration-compacité,
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– E. H. Lieb and B. Simon, The Thomas-Fermi theory of atoms, molecules
and solids, Adv. in Math. 23 (1977) 22-116.
Quant au modèle de Thomas-Fermi avec correction de Fermi-Amaldi, son
analyse est présentée dans
– C. Le Bris, On the spin polarized Thomas-Fermi model with the FermiAmaldi correction, Nonlinear Analysis 25 (1995) 669-679.
L’analyse que nous avons brièvement reproduite de l’équation d’Euler-Lagrange est due à
– H. Brézis, Some variational problems of the Thomas-Fermi type, in :
Variational inequalities and complementary problems, theory and applications, edited by Cottle, Giannesi and Lions, Wiley 1980.
Pour les questions spectrales concernant les opérateurs de Schrödinger, on
consultera tout d’abord un ouvrage de référence comme M. Reed and
B. Simon, Methods of modern mathematical physics IV : Analysis of operators, Academic Press 1978.
Puis, seulement après, on pourra se reporter à des études plus précises comme
par exemple
– R. D. Benguria and C. Yarur, Sharp condition on the decay of the potential for the absence of a zero-energy ground state of the Schrödinger
equation, J. Phys. A 23 (1990) 1513-1518,
– B. Simon, Large time behaviour of the L
p norm of Schrödinger semigroups, J. Funct. Anal. 40 (1981) 66-83,
– W. Strauss, Existence of solitary waves in higher dimensions, Comm.
Math. Phys. 55 (1977) 149-162,
– S. Agmon, Lower bounds for solutions of Schrödinger equations, J. Anal.
Math., pp 1-25, 1970,
– T. Kato, Growth properties of solutions of the reduced wave equation
with a variable coefficient, Comm. Pure Appl. Math. 12 (1959) 403-425.
Pour la méthode de concentration-compacité, dont on a commencé à parler
dans ce chapitre, la référence est l’article initial
– P.-L. Lions, The concentration-compactness principle in the calculus of
variations. The locally compact case, part 1 and 2, Ann. Inst. Henri
Poincaré 1 (1984) 109-145 and 223-283,
mais aussi la présentation résumée de P.-L. Lions au Séminaire EDP
(Goulaouic-Meyer-Schwartz) de l’Ecole Polytechnique en 1982-1983 (exposé
XIV, février 1983). Pour l’application aux modèles qui nous intéressent ici, la
référence numéro un est
– P.-L. Lions, Solutions of Hartree-Fock equations for Coulomb systems,
Comm. Math. Phys. 109 (1987) 33-97.
Mais, pour aborder ces trois articles, et notamment le dernier qui est très
dense, nous suggérons au lecteur d’attendre d’avoir étudié le Chapitre 4, où
nous mettons en œuvre explicitement la méthode de concentration-compacité,