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3 Le même problème sur l’espace tout entier
3.7 Résumé
La plus grande partie de ce chapitre a été consacrée à l’étude du problème
introduit au Chapitre 2, mais posé cette fois sur l’espace tout entier. La situation est sérieuse, mais, on l’a vu, pas désespérée ! L’existence d’un minimum
n’est pas donnée directement, comme au Chapitre 2, par un résultat de compacité du type Théorème de Rellich-Kondrachov. Cependant, en utilisant des
Théorèmes liés à la Théorie spectrale des opérateurs de Schrödinger, on a pu
conclure à l’existence d’un minimum. La stratégie a en effet été d’écrire une
EDP vérifiée par le candidat minimum et de s’en servir pour montrer que la
contrainte de masse était vérifiée. On aura noté au passage le rôle déterminant joué par la convexité de la fonctionnelle d’énergie, non seulement pour
l’unicité du minimum au signe près (comme au Chapitre 2), mais aussi déjà
pour son existence. Le deuxième exemple de ce chapitre a confirmé que ce
qui contribuait aussi à sauver la situation était le caractère elliptique du problème (présence quelque part du Laplacien), lequel pouvait apparaître parfois
après une étude un peu subtile de la fonctionnelle d’énergie. En introduisant
à petite dose l’approche concentration-compacité, nous avons vu que les questions que nous nous posions étaient liées à la stabilité des systèmes physiques.
En utilisant le vocabulaire propre à cette approche, nous avons aussi compris
que, dans ce troisième chapitre, les problèmes étudiés étaient associés à un problème à l’infini nul. Le quatrième chapitre va nous apporter l’exemple d’un cas
où ce problème à l’infini n’est pas nul. Ceci va compliquer considérablement
les choses d’un point de vue technique.
3.8 Pour en savoir plus
L’étude du modèle de Thomas-Fermi-von Weizsäcker est due à
– H. Brézis, R. Benguria et E.H. Lieb : The Thomas-Fermi-von Weizsäcker
theory of atoms and molecules, Comm. Math. Phys. 79 (1981) 167-180.
On pourra lire une version résumée de cette étude, et aussi quelques compléments dans l’article de revue
– E.H. Lieb Thomas-Fermi and related theories of atoms and molecules,
Rev. Mod. Phys. 53 (1981) 603-641.
Ces deux articles présentent une étude bien plus complète que celle que nous
avons esquissée ici, et on pourra y lire notamment la manière dont on prouve
l’existence de la charge maximale λ c , et la façon dont on l’évalue. A ce propos,
on pourra regarder aussi :
– R. Benguria and E.H. Lieb, The most negative ion in the Thomas-Fermivon Weizsäcker theory of atoms and molecules, J. Phys. B 18 (1985)
1045-1059.
Si l’on veut remonter au modèle de Thomas-Fermi lui-même, on pourra consulter l’article initial très complet
3 Le même problème sur l’espace tout entier
3.7 Résumé
La plus grande partie de ce chapitre a été consacrée à l’étude du problème
introduit au Chapitre 2, mais posé cette fois sur l’espace tout entier. La situation est sérieuse, mais, on l’a vu, pas désespérée ! L’existence d’un minimum
n’est pas donnée directement, comme au Chapitre 2, par un résultat de compacité du type Théorème de Rellich-Kondrachov. Cependant, en utilisant des
Théorèmes liés à la Théorie spectrale des opérateurs de Schrödinger, on a pu
conclure à l’existence d’un minimum. La stratégie a en effet été d’écrire une
EDP vérifiée par le candidat minimum et de s’en servir pour montrer que la
contrainte de masse était vérifiée. On aura noté au passage le rôle déterminant joué par la convexité de la fonctionnelle d’énergie, non seulement pour
l’unicité du minimum au signe près (comme au Chapitre 2), mais aussi déjà
pour son existence. Le deuxième exemple de ce chapitre a confirmé que ce
qui contribuait aussi à sauver la situation était le caractère elliptique du problème (présence quelque part du Laplacien), lequel pouvait apparaître parfois
après une étude un peu subtile de la fonctionnelle d’énergie. En introduisant
à petite dose l’approche concentration-compacité, nous avons vu que les questions que nous nous posions étaient liées à la stabilité des systèmes physiques.
En utilisant le vocabulaire propre à cette approche, nous avons aussi compris
que, dans ce troisième chapitre, les problèmes étudiés étaient associés à un problème à l’infini nul. Le quatrième chapitre va nous apporter l’exemple d’un cas
où ce problème à l’infini n’est pas nul. Ceci va compliquer considérablement
les choses d’un point de vue technique.
3.8 Pour en savoir plus
L’étude du modèle de Thomas-Fermi-von Weizsäcker est due à
– H. Brézis, R. Benguria et E.H. Lieb : The Thomas-Fermi-von Weizsäcker
theory of atoms and molecules, Comm. Math. Phys. 79 (1981) 167-180.
On pourra lire une version résumée de cette étude, et aussi quelques compléments dans l’article de revue
– E.H. Lieb Thomas-Fermi and related theories of atoms and molecules,
Rev. Mod. Phys. 53 (1981) 603-641.
Ces deux articles présentent une étude bien plus complète que celle que nous
avons esquissée ici, et on pourra y lire notamment la manière dont on prouve
l’existence de la charge maximale λ c , et la façon dont on l’évalue. A ce propos,
on pourra regarder aussi :
– R. Benguria and E.H. Lieb, The most negative ion in the Thomas-Fermivon Weizsäcker theory of atoms and molecules, J. Phys. B 18 (1985)
1045-1059.
Si l’on veut remonter au modèle de Thomas-Fermi lui-même, on pourra consulter l’article initial très complet