3.6 Thomas-Fermi avec correction de Fermi-Amaldi
93
où
f = (c 1 p)
1
p−2
4π(1 −
1
N 1
)
−
p−1
p−2
(∆V 1 − 4πρ 2 ) .
On remarque alors que (u + )
1
p−1 ∈ L
1 (car, dans (3.78), ρ 1 ∈ L
1 ), et que f est
une mesure bornée.
Nous prétendons que cela entraîne
∆u ≥ 0,
(3.80)
ce qui s’écrit aussi
I R 3
∆V 1 − 4π(1 −
1
N 1
)
I R 3
ρ 1 − 4π
I R 3
ρ 2 ≤ 0
c’est-à-dire, puisque
I R 3
ρ 1 < N 1 et
I R 3
ρ 2 ≤ N 2 ,
4πZ < 4π(1 −
1
N 1
)N 1 + 4πN 2 ,
ce qui contredit (3.62). La preuve de (3.80) est due à H. Brézis. Nous ne
la reproduisons pas ici, mais indiquons seulement l’idée maîtresse. Une fois
cette idée maîtresse comprise, le lecteur pourra facilement consulter la preuve
détaillée dans la littérature indiquée à la Section 3.8.
Il s’agit essentiellement de remarquer que, si
I R 3
∆u = 0, la moyenne sphérique [u] de u se comporte à l’infini de la façon suivante :
[u](x) ∼
|x|→∞
−
1
4π|x|
I R 3
∆u,
ce qui est une conséquence directe du Théorème de Gauss et du fait que,
comme par définition u tend vers 0 à l’infini, on a u = −
1
4π|x|
∆u.
Si l’on suppose
I R 3
∆u < 0, on a donc
[u](x) ∼
|x|→∞
a
|x|
,
pour une certaine constante a > 0. Il en résulte que, grossièrement tout au
moins, u + ne peut pas être dans L
1
p−1 , puisque
1
p−1 < 3 et
1
|x| α n’est sommable
à l’infini dans IR
3 que si α > 3. Or, l’équation (3.79) impose pourtant que u + ∈
L
1
p−1 . On atteint la contradiction voulue et donc la preuve de la Proposition
3.2 est terminée.
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où
f = (c 1 p)
1
p−2
4π(1 −
1
N 1
)
−
p−1
p−2
(∆V 1 − 4πρ 2 ) .
On remarque alors que (u + )
1
p−1 ∈ L
1 (car, dans (3.78), ρ 1 ∈ L
1 ), et que f est
une mesure bornée.
Nous prétendons que cela entraîne
∆u ≥ 0,
(3.80)
ce qui s’écrit aussi
I R 3
∆V 1 − 4π(1 −
1
N 1
)
I R 3
ρ 1 − 4π
I R 3
ρ 2 ≤ 0
c’est-à-dire, puisque
I R 3
ρ 1 < N 1 et
I R 3
ρ 2 ≤ N 2 ,
4πZ < 4π(1 −
1
N 1
)N 1 + 4πN 2 ,
ce qui contredit (3.62). La preuve de (3.80) est due à H. Brézis. Nous ne
la reproduisons pas ici, mais indiquons seulement l’idée maîtresse. Une fois
cette idée maîtresse comprise, le lecteur pourra facilement consulter la preuve
détaillée dans la littérature indiquée à la Section 3.8.
Il s’agit essentiellement de remarquer que, si
I R 3
∆u = 0, la moyenne sphérique [u] de u se comporte à l’infini de la façon suivante :
[u](x) ∼
|x|→∞
−
1
4π|x|
I R 3
∆u,
ce qui est une conséquence directe du Théorème de Gauss et du fait que,
comme par définition u tend vers 0 à l’infini, on a u = −
1
4π|x|
∆u.
Si l’on suppose
I R 3
∆u < 0, on a donc
[u](x) ∼
|x|→∞
a
|x|
,
pour une certaine constante a > 0. Il en résulte que, grossièrement tout au
moins, u + ne peut pas être dans L
1
p−1 , puisque
1
p−1 < 3 et
1
|x| α n’est sommable
à l’infini dans IR
3 que si α > 3. Or, l’équation (3.79) impose pourtant que u + ∈
L
1
p−1 . On atteint la contradiction voulue et donc la preuve de la Proposition
3.2 est terminée.