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2 Techniques d’homog´ en´ eisation
∞
0
t
0
αe
−β(t−s) e
−pt u
⋆ (s, x) ds dt =
∞
0
∞
s
αe
−β(t−s) e
−pt u
⋆ (s, x) dt ds,
=
∞
0
u
⋆ (s, x) αe
βs
∞
s
e
−(β+p)t dt
ds
=
α
β + p
∞
0
u
⋆ (s, x) e
−ps ds
=
α
β + p
Lu
⋆ (p, x).
Nous avons donc
−v(x)+
p+ −
α
β + p
Lu
⋆ (p, x)=0,
(2.105)
et donc, vue l’expression (2.103),
−1+
p+ −
α
β + p
<
1
p + a
>=0.
(2.106)
En regardant la limite p −→ 0 de cette ´ equation, il est facile d’identifier que
n´ ecessairement le quotient
α
β
vaut
α
β
=−
1
<
1
a >
,
(2.107)
d’o` u, en reportant dans (2.106),
(β+ ) p + p
2 + β
1
<
1
a >
<
1
p + a
>= β + p.
(2.108)
A ce stade, nous utilisons le fait que a est la fonction constante par morceaux
donn´ ee par (2.99), d’o` u la valeur de la moyenne
<
1
p + a
>=
α 1
p + a 1
+
α 2
p + a 2
,
(2.109)
pour chaque p ≥ 0fi x ´ e. De l` a, (2.108) devient
(β+ ) p + p
2 + β
1
<
1
a >
α 1
p + a 1
+
α 2
p + a 2
= β + p.
(2.110)
Cette ´ equation peut se mettre sous la forme d’une ´ equation polynˆ omiale en la
variable p, et l’on constate alors (voir l’Exercice 2.47 ci-dessous) que la valeur
β =
2 > −
2
−
1
<
1
a >
(2.111)