2.6 Quand ¸ ca se passe mal ...
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Remarque 2.46. La transform´ ee de Laplace est l’outil num´ ero un pour changer
un probl` eme d’´ evolution en temps en un probl` eme stationnaire.
Nous avons
∞
0
e
−pt ∂
∂t
u
ε (t, x) dt + a(
x
ε
)
∞
0
e
−pt u
ε (t, x) dt =0,
i.e., par int´ egration par parties du premier terme
−v(x)+pLu
ε (p, x)+a(
x
ε
) Lu
ε (p, x)=0,
et donc l’expression
Lu
ε (p, x)=
1
p + a(
x
ε
)
v(x).
(2.101)
Pour p>0fi x ´ e, le passage ` a la limite ε −→ 0 donne donc la convergence
faible dans L
2 ([0, 1])
Lu
ε (p, x)
ε−→ 0
⇀<
1
p + a
>v (x).
(2.102)
Mais par ailleurs, nous savons d´ ej` aq u eu
ε converge faiblement vers u
⋆ ,e t
il s’ensuit que Lu
ε converge faiblement vers Lu
⋆ .E ne ff e t ,s iϕ(x) est une
fonction fix´ ee de L
2 ([0, 1]), nous avons
1
0
(Lu
ε − Lu
⋆ )(p, x) ϕ(x) dx =
1
0
∞
0
e
−pt ϕ(x)(u
ε − u
⋆ )(t, x) dt dx
ε−→ 0
−→ 0,
car la fonction e
−pt ϕ(x) appartient `
a L
1 ([0, +∞[,L
2 ([0, 1])).
Nous avons donc, par unicit´ e de la limite faible
Lu
⋆ =<
1
p + a
>v (x).
(2.103)
Admettons alors pour un instant que u
⋆ est solution de l’´ equation (2.98)
pour une fonction K de la forme
K(t − s)=αe
−β(t−s) ,
(2.104)
o` u α et β sont deux constantes et o` u nous supposons β>0. Effectuons alors
une transform´ ee de Laplace de (2.98) ; nous trouvons
−v(x)+(p+ ) Lu
⋆ (p, x)=
∞
0
t
0
αe
−β(t−s) e
−pt u
⋆ (s, x) ds dt
Par application du th´ eor` eme de Fubini, le second membre s’´ ecrit