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2 Techniques d’homog´ en´ eisation
uniform´ ement en t>0, et c’est d’ailleurs faux d` es que a n’est pas une fonction
constante. Et donc il n’est pas possible que la limite u
⋆ v´ erifie une ´ equation de
mˆ eme type que (2.95). En passant `
a la limite ε −→ 0, la forme de l’´ equation
a chang´ e. Nous allons montrer (ici sur un cas simple de fonction a)q u eu
⋆
v´ erifie en fait une ´ equation d’´ evolution avec retard du type
∂
∂t
u
⋆ (t, x)+ u
⋆ (t, x)=
t
0
K(t − s)u
⋆ (s, x) ds,
(2.98)
pour la mˆ eme donn´ ee initiale que (2.95), et pour une certaine fonction K =0
que l’on peut d´ eterminer explicitement d’apr` es a (voir la formule (2.112) cidessous). Pour mener le calcul avec les outils les plus simples possibles (mais en
fait le r´ esultat qualitatif menant de (2.95) `
a (2.98) est plus g´ en´ eral que cela),
nous allons choisir comme fonction a la fonction constante par morceaux
a(x)=
a 1 si x ∈ [0,α 1 ],
a 2 si x ∈]α 1 , 1],
(2.99)
o` u a 1 , a 2 sont deux constantes strictement positives, α 1 ∈]0, 1[, et on note
d´ esormais α 2 =1− α 1 .
Remarque 2.44. Pour montrer que l’´ equation (2.98) est v´ erifi´ ee par u
⋆ ,o n
pourrait tout simplement calculer u
⋆ , compte-tenu de l’expression (2.99) :
u
⋆ (t, x)=v(x)
α 1 e
−ta1 + α 2 e
−ta2
,
puis ins´ erer brutalement ceci dans (2.98) et v´ erifier qu’il existe un K convenable (et qui est bien sˆ ur celui qu’on va trouver en (2.112)). La d´ emarche
qu’on va employer ici est plus g´ en´ erale.
Nous proc´ edons de la fa¸ con suivante. Vue l’expression (2.96), la suite
u
ε (t, x)e s tb o r n ´ ee dans L
∞ ([0, +∞[,L
2 ([0, 1])) (ce qui signifie que la norme
L
2 en x de u
ε (t, ·) est born´ ee ind´ ependamment de t ∈ [0, ∞[e td eε). On
peut donc supposer, quitte `
a en extraire une sous-suite, qu’elle converge vers
une certaine fonction u
⋆ pour la topologie faible de cet espace fonctionnel,
c’est-` a-dire la topologie L
∞ faible-⋆ en temps, et L
2 faible en espace.
Exercice 2.45. En fait, il n’y a pas besoin de l’expression (2.96) pour montrer que la suite u
ε (t, x)e s tb o r n ´ ee dans L
∞ ([0, +∞[,L
2 ([0, 1])). On peut
en effet ´ etablir directement ` a partir de (2.95), ce qu’il est d’usage d’appeler
une estimation a priori, c’est-` a-dire montrer que la suite u
ε est born´ ee dans
une certaine norme, sans pour autant calculer explicitement u
ǫ .E ni n t ´ egrant
(2.95) contre une fonction bien choisie, mener `
a bien cette estimation a priori.
Nous int´ egrons alors l’´ equation (2.95) contre e
−pt pour p>0, faisant ainsi
apparaˆ ıtre la transform´ ee de Laplace
Lu
ε (p, x)=
∞
0
e
−pt u
ε (t, x) dt, pour x ∈ [0, 1],p > 0,
(2.100)
de la fonction u
ε .
2 Techniques d’homog´ en´ eisation
uniform´ ement en t>0, et c’est d’ailleurs faux d` es que a n’est pas une fonction
constante. Et donc il n’est pas possible que la limite u
⋆ v´ erifie une ´ equation de
mˆ eme type que (2.95). En passant `
a la limite ε −→ 0, la forme de l’´ equation
a chang´ e. Nous allons montrer (ici sur un cas simple de fonction a)q u eu
⋆
v´ erifie en fait une ´ equation d’´ evolution avec retard du type
∂
∂t
u
⋆ (t, x)+ u
⋆ (t, x)=
t
0
K(t − s)u
⋆ (s, x) ds,
(2.98)
pour la mˆ eme donn´ ee initiale que (2.95), et pour une certaine fonction K =0
que l’on peut d´ eterminer explicitement d’apr` es a (voir la formule (2.112) cidessous). Pour mener le calcul avec les outils les plus simples possibles (mais en
fait le r´ esultat qualitatif menant de (2.95) `
a (2.98) est plus g´ en´ eral que cela),
nous allons choisir comme fonction a la fonction constante par morceaux
a(x)=
a 1 si x ∈ [0,α 1 ],
a 2 si x ∈]α 1 , 1],
(2.99)
o` u a 1 , a 2 sont deux constantes strictement positives, α 1 ∈]0, 1[, et on note
d´ esormais α 2 =1− α 1 .
Remarque 2.44. Pour montrer que l’´ equation (2.98) est v´ erifi´ ee par u
⋆ ,o n
pourrait tout simplement calculer u
⋆ , compte-tenu de l’expression (2.99) :
u
⋆ (t, x)=v(x)
α 1 e
−ta1 + α 2 e
−ta2
,
puis ins´ erer brutalement ceci dans (2.98) et v´ erifier qu’il existe un K convenable (et qui est bien sˆ ur celui qu’on va trouver en (2.112)). La d´ emarche
qu’on va employer ici est plus g´ en´ erale.
Nous proc´ edons de la fa¸ con suivante. Vue l’expression (2.96), la suite
u
ε (t, x)e s tb o r n ´ ee dans L
∞ ([0, +∞[,L
2 ([0, 1])) (ce qui signifie que la norme
L
2 en x de u
ε (t, ·) est born´ ee ind´ ependamment de t ∈ [0, ∞[e td eε). On
peut donc supposer, quitte `
a en extraire une sous-suite, qu’elle converge vers
une certaine fonction u
⋆ pour la topologie faible de cet espace fonctionnel,
c’est-` a-dire la topologie L
∞ faible-⋆ en temps, et L
2 faible en espace.
Exercice 2.45. En fait, il n’y a pas besoin de l’expression (2.96) pour montrer que la suite u
ε (t, x)e s tb o r n ´ ee dans L
∞ ([0, +∞[,L
2 ([0, 1])). On peut
en effet ´ etablir directement ` a partir de (2.95), ce qu’il est d’usage d’appeler
une estimation a priori, c’est-` a-dire montrer que la suite u
ε est born´ ee dans
une certaine norme, sans pour autant calculer explicitement u
ǫ .E ni n t ´ egrant
(2.95) contre une fonction bien choisie, mener `
a bien cette estimation a priori.
Nous int´ egrons alors l’´ equation (2.95) contre e
−pt pour p>0, faisant ainsi
apparaˆ ıtre la transform´ ee de Laplace
Lu
ε (p, x)=
∞
0
e
−pt u
ε (t, x) dt, pour x ∈ [0, 1],p > 0,
(2.100)
de la fonction u
ε .