2.6 Quand ¸ ca se passe mal ...
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2.6 Quand ¸
ca se passe mal ...
Pour terminer ce chapitre, citons un cas qui va montrer que tout ne se passe
pas forc´ ement aussi bien dans tous les cas que dans ce chapitre. En d’autres
termes, montrons que la forme du probl` eme obtenu par passage ` a la limite
quand les petites ´ echelles tendent vers z´ ero n’est pas forc´ ement identique `
a
celle du probl` eme original. Jusqu’` a maintenant quand on partait de
−div (A
ε ·∇u
ε )=f,
(2.93)
on obtenait comme probl` eme homog´ en´ eis´ eu np r o b l ` eme
−div (A
⋆ ·∇u
⋆ )=f,
(2.94)
de mˆ eme type avec A
⋆ d´ ependant (certes plus ou moins simplement) de A.
Nous allons ici consid´ erer un cas o` uleprobl ` eme homog´ en´ eis´ e obtenu n’est
pas de mˆ eme type que le probl` eme original. A titre d’exemple, nous consid´ erons
un probl` eme d´ ependant du temps (motiv´ e en fait par des questions d’absorption en ´ electromagn´ etisme), mais des exemples tout aussi convaincants pourraient ˆ etre choisis sur des cas stationnaires, dans le cadre des milieux poreux
ou de la physique des particules. Le probl` eme d’´ evolution que nous ´ etudions
est le suivant
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
∂
∂t
u
ε (t, x)+a(
x
ε
)u
ε (t, x)=0 po ur t>0
u
ε (t =0,x)=v(x)
(2.95)
o` u v ∈ L
2 ([0, 1]) est fix´ ee, et a est une fonction p´ eriodique de la variable
r´ eelle, de p´ eriode 1, v´ erifiant 0 d´ ependant pas de x quelconque dans IR.
La solution de cette ´ equation est connue et vaut
u
ε (t, x)=v(x) e
−ta(
x
ε
)
,
(2.96)
de sorte que
u
⋆ (t, x) = lim
ε−→ 0
u
ε (t, x)=v(x) b(t),
o` u
b(t) = lim
ε−→ 0
e
−ta(
x
ε
)
= −ta >
en utilisant de nouveau la Proposition 2.1 pour chaque t>0fi x ´ e.
Il n’y a en g´ en´ eral aucune raison qu’il existe un r´ eel a
∗ tel que
b(t)=e
−ta
∗
(2.97)