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2 Techniques d’homog´ en´ eisation
Remarque 2.41. Encore une fois, le lecteur peut constater qu’on suit les
d´ esormais habituelles deux ´ etapes pour la r´ esolution.
Remarque 2.42. Dans la droite ligne de ce que nous mentionnons pour la
convergence ` ad e u x´ echelles ` a la Section 2.3, insistons sur le fait que tout
ceci est pour le moment un raisonnement formel.O napostul´ e une forme
(2.76) avec (2.80) (un tel postulat s’appelle, on le rappelle, un Ansatz ). On a
ensuite admis un certain ordre en ε pour chacune des fonctions dans les calculs, et on a donc propos´ e une ´ equation pour u
1 . Il resterait maintenant, pour
ˆ etre complet, ` a “remonter” le raisonnement, c’est-` a-dire `
ac o n s i d ´ erer (u
0 ,p
0 )
solution de (2.71) (dont il faudrait montrer qu’il ob´ eit `
a (2.73), (2.82), (2.83)),
(v, q) solution de (2.75) (dont il faudrait montrer qu’il existe avec le bon comportement asymptotique), puis (u
1 ,p
1 ) solution de (2.74), `
aformer(u
c ,p
c ) via
(2.80), puis v´ erifier que (u
ε − u
0 − εu
c ,p
ε − p
0 − εp
c )t e n db i e nv e r s0q u a n d
ε −→ 0, avec un ordre en ε meilleur que la convergence de (u
ε − u
0 ,p
ε − p
0 )
vers 0. Tout ce travail a ´ et´ e effectu´ e (voir les r´ ef´ erences bibliographiques),
mais il d´ epasse le cadre de ce cours.
Il subsiste en fait une petite difficult´ e pratique pour mettre en oeuvre la
r´ esolution de (2.74). C’est l’objet de l’exercice suivant que d’identifier cette
difficult´ e et une fa¸ con de la contourner.
Exercice 2.43. R´ ealiser la formulation variationnelle de (2.74). Montrer que
pour v<0, la forme bilin´ eaire n’est pas n´ ecessairement coercive. En utilisant
un d´ eveloppement de Taylor, montrer alors qu’on peut r´ esoudre plutˆ ot
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
−µε∆u
1 + ∇p
1
= f, dans Ω δ
div u
1 =0 , dans Ω δ
εµ
∂u
1
∂n
+
µ
v + δ
u
1
1 =0 , sur Γ δ
u
1
2 =0 , sur Γ δ
(2.92)
o` u l’ouvert Ω δ a pour bord inf´ erieur Γ δ = δe 2 + Γ 0 pour un certain δ>0
bien choisi.
Terminons par un commentaire qui r´ eunit les deux paragraphes de cette
section. On peut remarquer que dans (2.74) la condition au bord sur Γ 0
εµ
∂u
1
∂n
+
µ
v
u
1
1
(x 1 , 0) = 0
est ´ equivalente par une simple application de la formule de Taylor `
a l’ordre 1
` a
u
1 (x 1 , −ε v)=0.
En d’autres termes, ceci n’est rien d’autre qu’une condition de non glissement
de type u = 0, mais pos´ ee sur une paroi `
al ah a u t e u r−ε v. Tout le calcul
pr´ ec´ edent peut ˆ etre vu comme une “simple” ´ evaluation de la bonne hauteur `
a
laquelle placer cette paroi ´ equivalente, exactement dans l’esprit des cas simples
d´ emontr´ es au d´ ebut de cette section.
2 Techniques d’homog´ en´ eisation
Remarque 2.41. Encore une fois, le lecteur peut constater qu’on suit les
d´ esormais habituelles deux ´ etapes pour la r´ esolution.
Remarque 2.42. Dans la droite ligne de ce que nous mentionnons pour la
convergence ` ad e u x´ echelles ` a la Section 2.3, insistons sur le fait que tout
ceci est pour le moment un raisonnement formel.O napostul´ e une forme
(2.76) avec (2.80) (un tel postulat s’appelle, on le rappelle, un Ansatz ). On a
ensuite admis un certain ordre en ε pour chacune des fonctions dans les calculs, et on a donc propos´ e une ´ equation pour u
1 . Il resterait maintenant, pour
ˆ etre complet, ` a “remonter” le raisonnement, c’est-` a-dire `
ac o n s i d ´ erer (u
0 ,p
0 )
solution de (2.71) (dont il faudrait montrer qu’il ob´ eit `
a (2.73), (2.82), (2.83)),
(v, q) solution de (2.75) (dont il faudrait montrer qu’il existe avec le bon comportement asymptotique), puis (u
1 ,p
1 ) solution de (2.74), `
aformer(u
c ,p
c ) via
(2.80), puis v´ erifier que (u
ε − u
0 − εu
c ,p
ε − p
0 − εp
c )t e n db i e nv e r s0q u a n d
ε −→ 0, avec un ordre en ε meilleur que la convergence de (u
ε − u
0 ,p
ε − p
0 )
vers 0. Tout ce travail a ´ et´ e effectu´ e (voir les r´ ef´ erences bibliographiques),
mais il d´ epasse le cadre de ce cours.
Il subsiste en fait une petite difficult´ e pratique pour mettre en oeuvre la
r´ esolution de (2.74). C’est l’objet de l’exercice suivant que d’identifier cette
difficult´ e et une fa¸ con de la contourner.
Exercice 2.43. R´ ealiser la formulation variationnelle de (2.74). Montrer que
pour v<0, la forme bilin´ eaire n’est pas n´ ecessairement coercive. En utilisant
un d´ eveloppement de Taylor, montrer alors qu’on peut r´ esoudre plutˆ ot
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
−µε∆u
1 + ∇p
1
= f, dans Ω δ
div u
1 =0 , dans Ω δ
εµ
∂u
1
∂n
+
µ
v + δ
u
1
1 =0 , sur Γ δ
u
1
2 =0 , sur Γ δ
(2.92)
o` u l’ouvert Ω δ a pour bord inf´ erieur Γ δ = δe 2 + Γ 0 pour un certain δ>0
bien choisi.
Terminons par un commentaire qui r´ eunit les deux paragraphes de cette
section. On peut remarquer que dans (2.74) la condition au bord sur Γ 0
εµ
∂u
1
∂n
+
µ
v
u
1
1
(x 1 , 0) = 0
est ´ equivalente par une simple application de la formule de Taylor `
a l’ordre 1
` a
u
1 (x 1 , −ε v)=0.
En d’autres termes, ceci n’est rien d’autre qu’une condition de non glissement
de type u = 0, mais pos´ ee sur une paroi `
al ah a u t e u r−ε v. Tout le calcul
pr´ ec´ edent peut ˆ etre vu comme une “simple” ´ evaluation de la bonne hauteur `
a
laquelle placer cette paroi ´ equivalente, exactement dans l’esprit des cas simples
d´ emontr´ es au d´ ebut de cette section.