2.5 Questions de couche limite
81
u
0 + εu
c = −ε
∂u
0
1
∂x 2
(x 1 , 0) + O(ε),
(2.87)
ce qui, on le notera, est un d´ eveloppement en puissance de
√ ε puisque le
premier terme est pr´ ecis´ ement d’ordre
√ ε.
Si l’on r´ esume les conditions impos´ ees sur (v, q), nous avons exig´ e (2.84),
(2.85), (2.86), ce qui donne bien (2.75). Nous admettons qu’il existe un unique
couple (v, q) et une unique moyennetels que v, q soient solutions du
syst` eme (2.75), avec les propri´ et´ es de d´ ecroissance et de p´ eriodicit´ e annonc´ ees
dans la Proposition 2.40. Nous admettons de plus que n´ ecessairement nous
avons alors
= ve 1 .
L’id´ ee est alors la suivante. Pour compenser le terme d’ordre ε dans (2.87),
nous rempla¸ cons le couple (u
0 ,p
0 )dansled ´ eveloppement (2.76) par le couple
(u
1 ,p
1 ) solution de la mˆ eme ´ equation de Stokes (2.74) `
as a v o i r
−µε∆u
1 + ∇p
1 = f, dans Ω 0
div u
1 =0 , dans Ω 0
(2.88)
mais cette fois avec la condition au bord
u
1 = ε
∂u
0
1
∂x 2
(x 1 , 0) sur Γ 0 .
(2.89)
En reportant cette nouvelle valeur au bord dans le d´ eveloppement (2.77), on
obtient cette fois ` a la place de (2.87) que
u
1 + εu
c = O(ε),
(2.90)
ce qui gagne un ordre en
√ ε.
Le programme de travail est ` a ce stade le suivant : on r´ esout le probl` eme
de Stokes (2.71) pour trouver (u
0 ,p
0 ), puis le probl` eme (2.75) sur la cellule
de p´ eriodicit´ e, et enfin le probl` eme de Stokes (2.88)-(2.89) pour d´ eterminer
(u
1 ,p
1 ). C’est clairement un peu trop lourd. Donc une astuce est de remplacer
u
0 par u
1 dans les membres de droite de (2.89) et de (2.80), ce qui s’´ ecrit
u
1 = ε v
∂u
1
1
∂x 2
(x 1 , 0) e 1 sur Γ 0 ,
(2.91)
ou encore comme la troisi` eme ligne de (2.74). L’int´ erˆ et est que cette fois
on peut oublier compl` etement le probl` eme (2.71), et ne r´ esoudre donc qu’en
deux ´ etapes au lieu de trois : la r´ esolution du probl` eme (2.75) sur la cellule
de p´ eriodicit´ e, puis la r´ esolution du probl` eme de Stokes (2.74) avec la bonne
condition au bord. Ceci conclut la “preuve” de la proposition.
♦.
81
u
0 + εu
c = −ε
∂u
0
1
∂x 2
(x 1 , 0) + O(ε),
(2.87)
ce qui, on le notera, est un d´ eveloppement en puissance de
√ ε puisque le
premier terme est pr´ ecis´ ement d’ordre
√ ε.
Si l’on r´ esume les conditions impos´ ees sur (v, q), nous avons exig´ e (2.84),
(2.85), (2.86), ce qui donne bien (2.75). Nous admettons qu’il existe un unique
couple (v, q) et une unique moyenne
syst` eme (2.75), avec les propri´ et´ es de d´ ecroissance et de p´ eriodicit´ e annonc´ ees
dans la Proposition 2.40. Nous admettons de plus que n´ ecessairement nous
avons alors
L’id´ ee est alors la suivante. Pour compenser le terme d’ordre ε dans (2.87),
nous rempla¸ cons le couple (u
0 ,p
0 )dansled ´ eveloppement (2.76) par le couple
(u
1 ,p
1 ) solution de la mˆ eme ´ equation de Stokes (2.74) `
as a v o i r
−µε∆u
1 + ∇p
1 = f, dans Ω 0
div u
1 =0 , dans Ω 0
(2.88)
mais cette fois avec la condition au bord
u
1 = ε
∂u
0
1
∂x 2
(x 1 , 0) sur Γ 0 .
(2.89)
En reportant cette nouvelle valeur au bord dans le d´ eveloppement (2.77), on
obtient cette fois ` a la place de (2.87) que
u
1 + εu
c = O(ε),
(2.90)
ce qui gagne un ordre en
√ ε.
Le programme de travail est ` a ce stade le suivant : on r´ esout le probl` eme
de Stokes (2.71) pour trouver (u
0 ,p
0 ), puis le probl` eme (2.75) sur la cellule
de p´ eriodicit´ e, et enfin le probl` eme de Stokes (2.88)-(2.89) pour d´ eterminer
(u
1 ,p
1 ). C’est clairement un peu trop lourd. Donc une astuce est de remplacer
u
0 par u
1 dans les membres de droite de (2.89) et de (2.80), ce qui s’´ ecrit
u
1 = ε v
∂u
1
1
∂x 2
(x 1 , 0) e 1 sur Γ 0 ,
(2.91)
ou encore comme la troisi` eme ligne de (2.74). L’int´ erˆ et est que cette fois
on peut oublier compl` etement le probl` eme (2.71), et ne r´ esoudre donc qu’en
deux ´ etapes au lieu de trois : la r´ esolution du probl` eme (2.75) sur la cellule
de p´ eriodicit´ e, puis la r´ esolution du probl` eme de Stokes (2.74) avec la bonne
condition au bord. Ceci conclut la “preuve” de la proposition.
♦.