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2 Techniques d’homog´ en´ eisation
En effet, on peut consid´ erer (le raisonnement est un peu formel) que
∂u
0
1
∂x 2
(x 1 , 0) est exactement d’ordre
1
√
ε
,
(2.82)
au lieu d’ˆ etre seulement O(
1
√ ε
) selon l’hypoth` ese (2.73). De mˆ eme, on
consid` ere que
∂
2 u
0
1
∂x 1 ∂x 2
(x 1 , 0) et
∂
3 u
0
1
∂x 2
1 ∂x 2
(x 1 , 0) =
∂
∂x 1
∂
2 u
0
1
∂x 1 ∂x 2
(x 1 , 0), 0
sont exactement d’ordre
1
√
ε
.
(2.83)
On notera que la derni` ere quantit´ e est une d´ eriv´ ee tangentielle le long de Γ 0
et h´ erite donc des propri´ et´ es de la fonction sur cette mˆ eme fronti` ere. Ensuite,
on admet que v, q,e tl e u r sd ´ eriv´ ees sont essentiellement tous du mˆ eme ordre,
de sorte que par leur multiplication, ils ne perturbent pas l’ordre en ε des
quantit´ es pr´ ec´ edentes. En ´ etudiant tous les termes restants de (2.81), on r´ ealise
alors bien que c’est le deuxi` eme terme qui domine quand ε −→ 0. On choisit
donc naturellement (v, q) tels que
−µ∆v + ∇q =0.
(2.84)
De la mˆ eme mani` ere, la seconde ligne de (2.70) s’´ ecrit
div u
0 + ε div x u
c =0,
c’est-` a-dire
div u
0 +
∂u
0
1
∂x 2
(div y v)(
x
ε
)+ε
∂
2 u
0
1
∂x 1 ∂x 2
(x 1 , 0) (v 1 (
x
ε
)− 1 )=0.
En raisonnant identiquement, on retrouve div u
0 = 0, puis, `
a l’ordre dominant
en ε,
div y v =0.
(2.85)
Enfin, la condition au bord u
ε =0surΓ ε se traduit par
u
0 + εu
c = ε
∂u
0
1
∂x 2
(x 1 , 0)
x 2
ε
e 1 + v(
x
ε
)−
+ O(ε)=0,
o` u l’on a utilis´ e (2.78) pour ´ evaluer u
0 sur Γ ε .
Pour tenter d’am´ eliorer cette condition au bord, on pose donc
v(
x
ε
)=−
x 2
ε
e 1 sur le bord Γ ε ,
(2.86)
de sorte que